Espacio topológico con grupo fundamental$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

Question

En mi curso "Introducción A la Topología Algebraica" tuve la prueba siguiente problema:

Son ejemplo de un espacio topológico con grupo fundamental de la $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

Yo se supone que el uso de este teorema:

Deje $Y$ ser simplemente conectado espacio topológico. Si un grupo de $G$ (finito o contable) actúa en $Y$ libre y correctamente de forma discontinua, a continuación, grupo fundamental del espacio cociente $Y/G$ es naturalmente isomorfo a $G$.

Así que el problema es que yo no era capaz de llegar con simplemente se conecta el espacio tal que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ actúa libremente y correctamente de forma discontinua.

Alguna idea? Gracias!

Answer 1

¿Qué tal la esfera de la unidad$S^3$? Si$A$ es un$2$ - por -$2$ matriz de rotación para el ángulo$2\pi/n$, entonces la matriz de bloque$\pmatrix{A&0\\0&A}$ actúa en$S^3$ sin puntos fijos .

Answer 2

Hay una construcción explícita:

Considere la posibilidad de la CW complejo dada por tres $0$ células, tres $1$ células y una de dos celdas pegadas en (este es un lleno en el triángulo.)

Ahora, teniendo en cuenta el círculo con un punto de base, y pegar en esta $CW$-complejo mediante la identificación de los tres vértices con el punto base (en tres veces.)

El grupo fundamental del espacio resultante es exactamente $\mathbb Z_3$ por construcción, ya que las dos células da la relación $a^3=1$ en el grupo fundamental.

Esto es llamado la presentación de complejo por el camino.

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Si usted desea construir el Cayley complejo (la universalización de la cobertura de la presentación del complejo), usted tendrá que tomar tres discos y pegarlos a la $1$ esqueleto de la primera construcción. $\mathbb Z_3$ actuará por permutación cíclica de la $2$-células, y tomando el cociente le dará exactamente la presentación del complejo. Tenga en cuenta que esto es un simple conectado el espacio, y que $\mathbb Z_3$ actúa libremente en las dos células.