Prueba de expresión de forma cerrada para una suma

Question

Para la siguiente suma

$$ \sum_{i=0}^{n-r} \binom{n-r}{i}s^{r+i}(1-s)^{n-r-i}(1-t)^{i} $$

Wolfram Alpha se encuentra la siguiente forma cerrada

$$ s^{r}(1-pt)^{n-r}. $$

Sin embargo, no he sido capaz de derivar a mí mismo. Sin el coeficiente binomial, sería sencillo para simplificar a lo largo de estas líneas:

$$ S = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n\\ Sx = x + x^2 + x^3 + ... + x^{n} + x^{n+1}\\ Sx+1 = S + x^{n+1}\\ S=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} $$

Al $x \neq 1$. Pero no he sido capaz de hacer este trabajo, ya que cada término termina con el binomio coeficiente del término que le precede, lo que impide la aparición de $S$ sobre el lado derecho. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Pista: Escribe$s^{r+i}(1-t)^i=s^r(s-st)^i$. Factor$s^r$ y queda con una expansión binomial estándar.

Answer 2

$$ \begin{align} &\sum_{i=0}^{n-r} \binom{n-r}{i}s^{r+i}(1-s)^{n-r-i}(1-t)^{i}\\ &=s^r(1-s)^{n-r} \sum_{i=0}^{n-r}\binom{n-r}{i}\left(\frac{s(1-t)}{1-s}\right)^i\\ &=s^r(1-s)^{n-r}\left(1+\frac{s(1-t)}{1-s}\right)^{n-r}\\[6pt] &=s^r(1-st)^{n-r} \end {align} $$