Ejemplo de una función que es casi una transformación lineal

Question

Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales sobre el campo $\mathbb{F}.$ Deje $f$ ser una función de $V$ $W.$ $f$se llama una transformación lineal si

\begin{align} &\tag1 f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)\,\, \forall \alpha,\beta \in V \\ &f(c\alpha) = cf(\alpha)\,\, \forall c\in \mathbb{F}\tag2 \end{align}

Estoy interesado en encontrar ejemplos de funciones de donde :

(a) la primera condición $(1)$ falla, y la segunda condición $(2)$ tiene

(b) la segunda condición $(2)$ falla, y la primera condición de $(1)$ tiene

Tengo dos ejemplos de (b) parte:

Considere la posibilidad de $f : M_{n\times n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n\times n}(\mathbb{C}) $ con la asignación $A \to A^*$ donde $A^*$ es la conjugada transpuesta de a $A.$

Considere la posibilidad de $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ con la asignación $z \to \overline{z}.$

Hasta ahora no he sido capaz de encontrar un ejemplo de (a).Por favor me ayudan viento del este. También si usted se encuentra más ejemplos de (b), por favor haga una lista de ellos también.

Answer 1

Que el campo sea el campo de números complejos y el espacio del vector sea el espacio vectorial de números complejos sobre el campo de números complejos. La función $f(z)=Re(z)$ satisface $$f(z+w)=f(z)+f(w)$ $ pero es incapaz de satisfacer, f(Cz)=Cf(z) para un número complejo.

Que tener en cuenta el espacio del vector de números complejos sobre el campo real.

Definir $f(z)=(\text {Sgn} (Re(z))|z|$, donde Sgn es la función del signum. Entonces $$f(z+w)=f(z)+f(w)$$ fails but $ f(cz)=cf(z)$ sostiene.

Answer 2

Sugerencia Condición (b) es equivalente a la propiedad de que la restricción de $f$ a cualquier línea de $\{c \alpha : c \in \Bbb F\}$, $\alpha \in V - \{0\}$, es lineal (verifique esto!). Así, cualquier función $f$ está determinado por la elección de un valor en un valor distinto de cero punto en cada línea, y de forma genérica, la mayoría de estas opciones va a dar no lineal $f$, es decir, las funciones que cumplen (b), pero no (una).

Sugerencia adicional, Tome $f : \Bbb F \to \Bbb F^2$ a ser el mapa de $f(x, y) = x$ $y = 0$ $f(x, y) = 0$ lo contrario.