Si $x^{x^4} = 4$ ¿Cuál es el valor de $x^{x^2} + x^{x^8}$ ?

Question

Si $x^{x^4} = 4$ ¿Cuál es el valor de $x^{x^2} + x^{x^8}$ ?

Puedo encontrar por ensayo y error, que $x=\sqrt 2$ . Pero, ¿cuál es el proceso general para responder a preguntas como ésta?

Answer 1

Tomando el logaritmo base 2 de cada lado, tenemos

$\log_2 (x^{x^4}) = x^4\log_2 (x)= \log_2 4 = 2$

Multiplicando cada lado por cuatro tenemos

$4x^4\log_2 (x) = x^4\log_2 (x^4) = 8$

Reetiquetado $x^4$ como $u$ tenemos

$u\log_2(u) = 8$

Utilizando el Función Lambert W tenemos que

$u = e^{W(8\ln 2)}=e^{W(4\ln 4)}=4$

Reemplazando la espalda, $x^4=4$ y el resultado es el siguiente.

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Para la conclusión del problema, encontramos antes que $x^4=4$ y por lo tanto $x^2=2$ o $x^2=-2$ . Asumiendo que requerimos $x$ para ser real, debe ser el primero.

$\begin{array}{rl} x^{x^2} + x^{x^8} &=x^2 + x^{(x^4)^2}\\ &=2+x^{16}\\ &=2+(x^4)^4\\ &=2+4^4\\ &=2+256\\ &=258\end{array}$