Usted ya tiene la respuesta, simplemente no está completamente escrito que fuera. En probabilidad contexto usualmente escribimos
$$\displaystyle Z = \sum_{i=1}^A Y_i$$
como un aleatoria suma, con la convención que $Z = 0$ cuando $A = 0$. Asumimos $A$ es independiente de $Y_i$ también, y se define como lo que usted ha escrito. Luego por la ley de la total expectativa, la función característica de a$Z$ es
$$ \begin{align}
\phi_Z(t) &= E\left[\exp\left\{itZ\right\}\right] \\
&= E\left[\exp\left\{it\sum_{i=1}^A Y_i\right\}\right] \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} E\left[\exp\left\{it\sum_{i=1}^A Y_i\right\} \Bigg| A=n \right]
\Pr\{A = n\} \\
&= \Pr\{A = 0\} + \sum_{n=1}^{\infty} E\left[\exp\left\{it\sum_{i=1}^n Y_i\right\}\right]
\Pr\{A = n\} \\
&= \frac {1} {2} + \sum_{n=1}^{\infty}
E\left[\prod_{i=1}^n\exp\left\{it Y_i\right\}\right] \frac {1} {2^{n+1}} \\
&= \frac {1} {2} + \sum_{n=1}^{\infty}
\prod_{i=1}^n E\left[\exp\left\{it Y_i\right\}\right] \frac {1} {2^{n+1}} \\
&= \frac {1} {2} + \sum_{n=1}^{\infty} \phi_X(t)^n \frac {1} {2^{n+1}} \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac {\phi_X(t)^n} {2^{n+1}} \\
&= \frac {1/2} {1 - \phi_X(t)/2} \\
&= \frac {1} {2 - \phi_X(t)}
\end{align}$$
donde
la línea de $1$ usando la definición de la función característica,
la línea de $2$ utilizando la definición de $Z$,
la línea de $3$ usar la ley de la total expectativa,
la línea de $4$ utilizando la independencia de $A$ e $Y_i$ y la convención de las aleatoria suma,
la línea de $5$ el uso de la propiedad básica de la función exponencial,
la línea de $6$ utilizando la independencia de $Y_i$,
la línea de $7$ usando la definición de la función característica de a$Y_i$ y están idénticamente distribuidas con el mismo CF $\phi_X$,
y el resto de las líneas son sólo algunos de álgebra para simplificar la expresión.
No he de estudiar a los análisis complejo así que si hay agujeros en los pasos anteriores en cuanto a número complejo, por favor ayuda a llenar. Supongo que esto debería funcionar.
