Trivial ceros
Numéricamente encontré que para $n$ cualquier entero positivo (en sustitución de su $\,\gamma+\gamma\,$ constante por $\,\log\,\pi\,$) :
$$\tag{1}\frac{\zeta ''(-2\;n)}{2\,\zeta '(-2\;n)}+\log (n)<\log(\pi)$$
con el límite se aproxima $\log\,\pi\,$$\,n\to \infty$.
He obtenido la siguiente expansión asintótica como $\,n\to\infty$ :
$$\frac{\zeta ''(-2\;n)}{2\,\zeta '(-2\;n)}+\log\left(\frac n{\pi}\right)\sim -\frac 1{4\,n}+\frac 1{48\,n^2}-\frac 1{1920\,n^4}+\frac 1{16128\,n^6}-\frac 1{61440\,n^8}+\operatorname{O}\left(\frac 1{n^{10}}\right)$$
que probablemente debería ser el de niza :
$$\tag{2}\frac{\zeta ''(-2\;n)}{2\,\zeta '(-2\;n)}+\log\left(\frac n{\pi}\right)\sim \sum_{k=1}^\infty \frac {B_k}{k\,(2n)^k}$$
(este es un asintótica de expansión y $k$ no debe ir hasta el infinito)
En este punto, podemos usar esta fórmula para la función digamma:
$$\tag{3}\psi(z+1)\sim \log(z)-\sum_{k=1}^\infty \frac {B_k}{k\,z^k}$$
('$+1$'$\,\psi(z+1)=\psi(z)+\dfrac 1z\,$ no aparece en Wikipedia debido a su alternativa de la convención de $B_1:=\dfrac 12$ en lugar de $B_1:=-\dfrac 12$)
con $\,z:=2n\,$ a reescribir $(2)$ con alta precisión (error $< 10^{-60}$$n=100$) como :
$$\tag{4} \frac{\zeta ''(-2\;n)}{2\,\zeta '(-2\;n)}\sim \log(2\pi)-\psi(2n+1)$$
Todo esto puede ser demostrado comenzando con la derivada logarítmica de la ecuación funcional de $\zeta$ (intercambio de $s \leftrightarrow (1-s)$ primera) :
$$\left[\log\,\zeta(1-s)\right]'=\left[\log\left(2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)\cos\left(\frac{\pi}2s\right)\zeta(s)\right)\right]'$$
es decir, desde la $\,\psi(s):=[\log\,\Gamma(s)]'\,$ y poner $\,-\log\left(\cos\left(\frac{\pi}2s\right)\right)'$ a la izquierda :
$$\tag{5}\frac{\pi}2\tan\left(\frac{\pi}2 s\right)-\frac{\zeta'(1-s)}{\zeta(1-s)}=-\log(2\pi)+\psi(s)+\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$$
la parte izquierda se convierte en la 'degenerados' caso (es decir,$\zeta(1-s)\to 0$) $s:=2n+1$ :
$$\lim_{h\to 0}\frac{\pi}2\tan\left(\frac{\pi}2 (2n+1+h)\right)-\frac{\zeta'(-2n-h)}{\zeta(-2n-h)}=\lim_{h\to 0}-\frac 1h+O(h)+\frac 1h-\frac{\zeta''(-2n)}{2\,\zeta'(-2n)}+O(h)$$
y menos $(5)$ da la exacta (por $n$ entero positivo!) :
$$\tag{6}\boxed{\displaystyle\frac{\zeta''(-2n)}{2\,\zeta'(-2n)}=\log(2\pi)-\psi(2n+1)-\frac{\zeta'(2n+1)}{\zeta(2n+1)}}$$
(tenga en cuenta que $\;\psi(2n+1)=H_{2n}-\gamma\,$ $H_m$ $m$- ésimo número armónico)
Pero $(6)$ es exactamente $(4)$ con un plazo adicional $-\frac{\zeta'(2n+1)}{\zeta(2n+1)}$ que puede ser fácilmente demostrado muy pequeño para $n\gg 1$ lo que implica por lo tanto $(4)$ y las anteriores equivalencias, afirmó el límite y el inicial de la desigualdad.
Los ceros no triviales, la línea crítica
En este caso, la singularidad de $\dfrac{\zeta'(1-s)}{\zeta(1-s)}$ no es cancelado por la singularidad de la tangente, sino por la singularidad de la otra fracción se $\dfrac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ ($\,0<\Re(s)<1\,$ funcional ecuación implica la equivalencia entre el$\,\zeta(s)=0\,$$\,\zeta(1-s)=0$).
El mismo método que para $(6)$ nos permite obtener de $\rho$ cualquier trivial cero :
$$\tag{7}\lim_{s\to \rho}\frac{\zeta'(1-s)}{\zeta(1-s)}+\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\frac{\zeta''(1-\rho)}{2\,\zeta'(1-\rho)}+\frac{\zeta''(\rho)}{2\,\zeta'(\rho)}$$
En el caso habitual $\,\rho=\dfrac 12+i\,t\;$ $t\in\mathbb{R}$ (conocidos en todos los ceros no triviales!) tenemos $\,1-\rho=\overline{\rho}\,$ lo que nos permite reescribir el lado derecho de la $(7)$ $\,\displaystyle \Re\left(\frac{\zeta''(\rho)}{\zeta'(\rho)}\right)\,$ como la exacta (por $\rho$ cualquier trivial cero y $(5)$) :
$$\tag{8}\boxed{\displaystyle\Re\left(\frac{\zeta''(\rho)}{\zeta'(\rho)}\right)=\frac{\pi}2 \tan\left(\frac{\pi}2 \rho\right)+\log(2\pi)-\psi(\rho)}$$
mientras que para $\,\rho=\dfrac 12+i\,t\;$ no un cero en la línea crítica (definido por $\,\Re(\rho)=\frac 12$) :
$$\tag{9}\boxed{\displaystyle 2\;\Re\left(\frac{\zeta'(\rho)}{\zeta(\rho)}\right)=\frac{\pi}2 \tan\left(\frac{\pi}2 \rho\right)+\log(2\pi)-\psi(\rho)=\,-2\,\theta'(t)}$$
con $\theta(t)$ la de Riemann-Siegel theta función desde el logarítmicas derivadas de $\,\displaystyle\zeta\left(\frac 12+it\right)=Z(t)\,e^{-i\theta(t)}\;$$\quad\displaystyle i\frac {\zeta'\left(\frac 12+it\right)}{\zeta\left(\frac 12+it\right)}=\frac{Z'(t)}{Z(t)}-i\theta'(t)$.
Para $\,t \gg 1\,$ y desde la parte real de la tangente plazo se convierte rápidamente muy pequeño, tenemos :
$$\tag{10}-2\,\theta'(t)\approx \log(2\pi)-\Re\,\psi\left(\frac 12+it\right)$$
La página de $259$ de Abramowitz Y Stegun contiene la ecuación de $6.3.8$ e da $\,\displaystyle \psi\left(\frac 12+it\right)=2\psi(1+2it)-\psi(1+it)-\ln(4)\,$, mientras que la expansión asintótica $6.3.19$ le dan una expresión similar :
$$\Re\,\psi\left(\frac 12+it\right)\sim\log(t)-\sum_{n=1}^\infty\left(1-\frac 1{2^{2n-1}}\right)\frac{(-1)^{n-1}B_{2n}}{2n\,t^{2n}}$$
y la multa aproximación :
$$\tag{11}-2\,\theta'(t)\approx \log\left(\frac{2\pi}t\right)+\frac 1{24\,t^2}+\frac 7{960\,t^4}$$
Todo esto muestra que la derivada del argumento de $\zeta$ va a ser muy suave en la línea crítica (así como a $\theta(t)$ a sí mismo después de la integración), mientras que el término izquierda de $(8)$ $\,\Re\frac{\zeta''(\rho)} {\zeta'(\rho)}\,$ será liso sólo cerca de los ceros no triviales (en otros lugares $Z(t)$ y sus derivados estarán involucrados!).
Vamos a ilustrar esta mostrando a la izquierda (irregular) $\,\Re\frac{\zeta''(\rho)} {\zeta'(\rho)}$ parte y a la derecha (regular) $-2\theta(t)$ parte de a$(8)$$1<t<50$ :
![left and right part of 8]()
Si restamos estas dos curvas, vamos a obtener una nueva curva de tomar el valor de $0$ sólo cuando la fórmula $(8)$ se aplica. La segunda curva es la parte real de Z de Riemann-función (es decir, $\zeta$ 'sin la fase') tomando el valor de $0$ sólo en el imaginario de las partes de los ceros :
![zeros of zeta]()
En el $(1,50)$ rango considerado como $(8)$ tiene sólo una solución para $t$ un poco más pequeña que la $40$.
