¿Cómo entender este ejemplo en Do Carmo?

Question

Estoy leyendo el libro $Riemannian$ $Geometry$ escrito por Do Carmo. Aquí hay un ejemplo en el que no puedo entender la explicación que dio.

Realmente no entiendo lo que dijo sobre por qué $\alpha$ no es una incrustación... No me preocupan mis conocimientos de topología. ¿Alguien puede ayudarme a "traducirlo" al lenguaje común que sea fácil de entender?

Answer 1

El conjunto $C=\alpha\bigl((-3,0)\bigr)$ tiene dos topologías:

• la topología que hereda de la topología habitual en $\mathbb{R}^2$ un conjunto $A\subset C$ es abierto si existe un subconjunto abierto $A^\star$ de $\mathbb{R}^2$ tal que $A=A^\star\cap C$ .
• la topología que obtiene de $(-3,0)$ un conjunto $A\subset C$ es abierto si existe un subconjunto abierto $A^\star$ de $(-3,0)$ tal que $A=\alpha(A^\star)$ .

A continuación, Do Carmo explica por qué estas dos topologías son distintas: la segunda está conectada localmente, mientras que la primera no lo está.