¿Cómo encontrar$\lim_{n\to\infty}(pa_n + qb_n)^n$ con$p + q = 1$?

Question

Supongamos $a_n$ e $b_n$ son secuencias de números positivos, tales que $$ \lim_{n\to\infty}a_n^n = a,\quad \lim_{n\to\infty}b_n^n = b,\qquad a,b\in (0, \infty). $$
Encontrar el límite de $$ \lim_{n\to\infty}(pa_n + qb_n)^n, $$ donde $p, q$ son números no negativos tales que $p + q = 1$.

Answer 1

Utilizamos los siguientes lemas:

Lema 1: Vamos a $\{a_n\} $ ser una secuencia tal que $a_n\to a>0$. A continuación, $n(a_n^{1/n}-1)\to\log a$ (demostrarlo).

Lema 2 : Deje $\{a_n\} $ ser una secuencia tal que $n(a_n-1)\to 0$. A continuación, $a_n^n\to 1$.

Considerar la secuencia de $\{x_n\} $ definido por $$x_n=\frac{pa_n+qb_n} {a_n^pb_n^q} $$ and then we have $$n(x_n-1)=\frac{n((a_n^{pn} b_n^{cn}) ^{1/n}-1)-pn((a_n^n)^{1/n}-1)-qn((b_n^n)^{1/n}-1)}{a_n^pb_n^q}$$ By lemma $1$ numerator of the above expression tends to $$\log(a^pb^q) - p\log a-q\log b=0$$ and since $a_n\a 1,b_n\a 1$ (prove this) the denominator tends to $1$ so that $n(x_n-1)\a 0$. Thus by lemma 2 the sequence $x_n^n\a 1$ and thus the desired limit is equal to $^pb^q$.

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Alternativamente, podemos usar el lema 1 y el siguiente

Lema 3: Deje $\{a_n\} $ ser una secuencia tal que $a_n\to a$ entonces $$\left(1+\frac{a_n}{n}\right)^n\to e^a$$

Podemos escribir $$pa_n+qb_n=1+\frac{x_n}{n}$$ where $$x_n=pn((a_n^{n})^{1/n}-1)+qn((b_n^{n})^{1/n}-1)$$ and by lemma 1 $$x_n\to p\log a+q\log b=\log(a^pb^q) $$ and therefore by lemma 3 we have $$(pa_n+qb_n)^n=\left(1+\frac{x_n}{n}\right)^n\to \exp(\log(a^pb^q)) =a^pb^q$$

Answer 2

Escribe $a_n^n = e^{\alpha_n}$ y $b_n^n = e^{\beta_n}$ . Luego $\alpha_n \to \log a$ , $\beta_n \to \log b$ y

PS

Por lo tanto

PS