Encontrar los enteros soluciones m, n tal que ${3^m}-{7^n}=2$.

Question

Me encontré con este problema en artofproblemsolving.com. Hasta ahora sus días y no ha habido ninguna respuesta a esta pregunta:

Encontrar los enteros soluciones m, n tales que: <span class="math-container">%#% $ #%</span>

He probado usando aritmética modular y pequeño Teorema de Fermat en esto sin rendimiento. Toda ayuda es apreciada.

Answer 1

Si $n=0$ entonces $m=1$. Si $n\geq 1$ entonces $m\geq 2$ e $3^m-2\equiv 0 \pmod{7}$ fib $m=6k+2$. Por otra parte $7^n+2\equiv 9\equiv 9^{3k+1}\pmod{36}$ fib $n=6j+1$. Por lo tanto, queda por resolver $$3^{6k+2}-7^{6j+1}=2$$ que es $$9(3^{6k}-1)=7(7^{6j}-1)$$ Pretendemos que $k=j=0$ es la única solución y por lo tanto la ecuación dada ${3^m}-{7^n}=2$ solo dispone de dos soluciones de $(m,n)$: $(1,0)$ e $(2,1)$.

Suponga que $k,j\geq 1$. Tenga en cuenta que el primer $43$ divide $(7^6-1)$ y por lo tanto se divide también el lado derecho. De ello se desprende que $7$ divide $k$. A continuación, $7^2$ es un factor de $3^{42}-1$ que es un factor de la mano izquierda. Pero luego tenemos una contradicción: $7^2$ divide $7(7^{6j}-1)$ con $j\geq 1$.

Answer 2

Tal vez esto ayudará.

Si <span class="math-container">$n>0$</span>y <span class="math-container">$3^m \equiv 2 \pmod{7}$</span> sabemos <span class="math-container">$m$</span> , es decir <span class="math-container">$m=2k$</span>. Entonces puede escribirse la ecuación

<span class="math-container">$$(8+1)^k - (8-1)^n = 2.$$</span>

Pero eso es todo lo que tengo.

Answer 3

Para $n=0$ tenemos la solución atípica $3-1=2$.

Ahora imagine $n>0$. A continuación, $7^n$ es divisible por $7$, y esto impone una condición en $3^m$ a $2$ mod siete, por lo $m$ es de la forma $2+6m'$.

Esto impone una condición en $7^n$ modulo $9$, lo $n=1+3n'$. Llegamos a la siguiente ecuación: $$ 9\cdot 3^{6m'} - 7\cdot 7^{3n'}= 2\ . $$ Es evidente que existe una solución, $9-7=2$. (Para $m'=n'=0$.)

Ahora podemos enumerar algunas ideas para atacar a la pregunta, que no es trivial, ya que las referencias siguientes se muestran.

IDEAS:

• Por lo que cualquier solución induce una racional punto en la curva de $9x^6-7y^3=2$. Esta curva tiene género $>1$, por lo que hay un número finito de puntos en los que, resultado de Faltings. (Esto también implica que en cada curva de Fermat hay sólo un número finito de puntos, este fue el motor detrás de este desarrollo en la aritmética geometría algebraica.) Esto puede hacerse explícito también, la aplicación de la teoría.

• Cualquier solución que se define también un punto de $(x,y)$ que satisface la ecuación $$x^2-7y^2=2\ .$$ Moreover, $x$ is a power of $3$, and $y$ a power of $7$. This is a generalized Pell type equation, so we are performing arithmetics in the quadratic number field $\Bbb P(\sqrt 7)$, which has class number one, thus unique decomposition in prime factors. Each solution induces an element $x+y\sqrt 7$ of norm two, so one which can then be written as a product of a special solution, here $3-\sqrt 7$, and an integer unit. The group of units in the ring $\Bbb Z[\sqrt 7]$, the (algebraic) integers ring of the field, is generated by $8-3\sqrt 7$. So we can write for a suitable power $k$: $$x\pm y\sqrt 7 = (3-\sqrt 7)(8-3\sqrt 7)^k\ .$$ The $\pm$ signs are always the same. This gives a combinatorial formula for $x$, and an other one for $y$. One can try now to show that either one formula, or the other one does not provide a power of $3$, resp $7$. Pero esta no es una tarea sencilla. Es solo una idea.

• Otra idea es observar que para $m,n>0$ una solución de la ecuación dada induce un entero punto de la curva elíptica $E$ con la ecuación $$E\ :\qquad y^2 = x^3+2\cdot 7^2\ .$$ (From the special solution $3^2=7^1+2$ we multiply with $7^2$ getting $21^2=7^3+2\cdot 7^2$. So there is a rational point, even integral point $P= (7,21)$ on $E$. Using the theory of elliptic curves, and the "standard algorithms", we can conclude that the point $P$ es el único integral de punto. Aquí es un diálogo con el sabio, que "calcula" la integral de puntos.

  sage: E = EllipticCurve( QQ, [0, 2*49] )
  sage: E.integral_points()
  [(7 : 21 : 1)]
  
  sage: E = EllipticCurve( QQ, [0, 2*49] )
  sage: E
  Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 98 over Rational Field
  
  sage: E.rank()
  1
  
  sage: E.gens()
  [(7 : 21 : 1)]
  
  sage: E.integral_points()
  [(7 : 21 : 1)]
  

  Esto ya es una solución completa desde mi punto de vista.

• Una palabra final sobre las ecuaciones de participación de los poderes de fijo bases, la generalización de la ecuación dada. He encontrado en la red, por ejemplo, la referencia de Michael E. Bennett, En algunas ecuaciones exponenciales de S. S. Pillai .

  (Véase también Michael Waldschmidt, Perfecto poderes: Pillai del trabajo y su evolución.)

  Pillai considera que alrededor de 1930 ecuaciones de la forma $a^x-b^y=c$, con "fijo" integral de las bases de $a,b$ y una constante de $c$ en el R. H. S. y soluciones naturales $x,y>0$ se buscan. Uno de los aspectos estudiados en este mundo es para los que los valores de la "constante de datos" $a,b,c$ hay más de dos soluciones. Por favor, busque en las referencias, y en el artículo de la lista y los métodos para atacar a tal pregunta. En cualquier caso, la tupla $(3,7,2)$ no está en la lista, por lo que no son estrictamente menor que dos soluciones. Y ya tenemos uno.

  Estas últimas referencias muestran que los problemas como en el OP no son una "tarea fácil", al menos cuando se consideran en un paquete, no como problemas aislados

Answer 4

Hay dos obvios y fáciles soluciones:

$$ 3^1-7^0 = 2 $$ $$ 3^2-7^1 = 2 $$

Pero para las más complejas soluciones el problema es más complicado y tiene que ver con la relación logarítmica entre el 3 y el 7:

$$ log_3 (7) = \frac {ln(7)}{ln(3)} = 1,77124374916142226006792830708...$$

Esa constante se expresa como una fracción continua es:

$$ log_3 (7) = [1; 1, 3, 2, 1, 2, 4, 22, 32, 3, 1, 6, 5, 1, 1, 2, 10, ...] $$

El primer número [1] da el entero 1, los dos primeros números [1; 1] dar el entero 2, y que son las dos primeras soluciones.

Los primeros 3 números [1; 1,3] dar el número de 7/4. Pero, a pesar de que enfoques el problema, no es una solución:

$$ 3^7 - 7^4 = 2187 - 2401 = -214 $$

El primer $7$ números, antes de $22$, $ [1; 1, 3, 2, 1, 2, 4] $, dar una buena aproximación, pero no lo suficiente como para ser una solución:

$$ 3^{271} - 7^{153} = 1,994619355... \cdot 10^{129} - 1,995262876... \cdot 10^{129} \neq 2$$

Creo que no hay otras soluciones, aparte de los dos primeros, ya que la diferencia crece muy rápidamente en el mejor de los casos.