Hacer que la aritmética modular sea interesante para los escolares

Question

Se trata de un patrón que incluso los niños de la escuela podrían descubrir (cuando se les señala suavemente). Yo nunca lo hice conscientemente, y no recuerdo que me lo hayan señalado explícitamente, ni en la escuela ni después:

$$\color{red}{\mathbf{2}}\cdot 9 = 1\color{red}{\mathbf{8}}$$ $$\color{red}{\mathbf{8}}\cdot 9 = 7\color{red}{\mathbf{2}}$$

$$\color{blue}{\mathbf{3}}\cdot 9 = 2\color{blue}{\mathbf{7}}$$ $$\color{blue}{\mathbf{7}}\cdot 9 = 6\color{blue}{\mathbf{3}}$$

$$\color{green}{\mathbf{4}}\cdot 9 = 3\color{green}{\mathbf{6}}$$ $$\color{green}{\mathbf{6}}\cdot 9 = 5\color{green}{\mathbf{4}}$$

lo que puede resultar una especie de milagro al descubrirlo por primera vez.

En términos matemáticos

$$\boxed{a\cdot (10-1) \equiv b \mod 10\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \ b\cdot (10-1) \equiv a \mod 10 \\ a\cdot (10-1) \equiv b \mod 10\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \ a + b = 10 \equiv 0 \mod 10}$$

Esto es válido no sólo para $10$ pero para cada $p \in \mathbb{N}$ es decir, en todo "sistema numérico":

$$\boxed{a\cdot (p-1) \equiv b \mod p\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \ b\cdot (p-1) \equiv a \mod p \\ a\cdot (p-1) \equiv b \mod p\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \ a + b = p \equiv 0 \mod p}$$

y es responsable de que el tablas de multiplicar gráficas de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ siempre tiene el mismo aspecto para $p-1$ :

Me pregunto si hay intentos (en la investigación y la literatura educativa) de aprovechar la simple observabilidad del patrón anterior para explicar a los escolares (inteligentes) que la regularidad observada no es por pura coincidencia, por qué es así y qué "significa".

Answer 1

Después de que la clase hable sobre la cita

Y, sin embargo, los patrones existen, y los descubrimos poco a poco. Estaciones, las migraciones, las lunas: el patrón está ahí. De forma consciente o inconscientemente, la mayoría de la gente acepta ciertos componentes de la teoría del ciclo. Buscamos y vemos patrones en las cosas. Es la forma en que funciona nuestra mente, presumiblemente con el propósito de sobrevivir.

--- Nick Paumgarten

el profesor debe entonces explicar suavemente a sus alumnos que para sobrevivir en su clase, DEBEN memorizar las tablas de multiplicar de 1 dígito; con $\bar n = \{0, 1, 2, 3,4,5,6,7,8\}$ ,

$\tag 1 (m,n) \mapsto m \times n \quad \text{ for } m,n \in \bar n$

A continuación, puede hablar de un patrón interesante:

Si uno de los dígitos de $(m,n)$ , digamos que $n$ es un nueve, y $m$ es distinto de cero, entonces

$\tag 2 m \times n = string(m - 1) \text{ || } string(k), \text{ where } k \text{ is chosen so that } m - 1 + k = 9$

Observe cómo se introduce el concepto de concatenación de cadenas de los lenguajes informáticos.

Ejemplo 1: $7 \times 9$ : Desde $6 + 3 = 9$ , RESPUESTA: $63$ .

Ejemplo 2: $9 \times 9$ : Desde $8 + 1 = 9$ , RESPUESTA: $81$ .

Ejemplo 3: $1 \times 9$ : Desde $0 + 9 = 9$ , RESPUESTA: $09$ (pero dígales que dejen de lado el $0$ ).

El profesor también puede explicar por qué (2) funciona. Cuando se multiplica un dígito $n$ por $9$ tiene que estar por debajo de ese bonito número redondo $n \times 10$ y el patrón describe por cuánto.

Por supuesto, los alumnos que no se preocupan por entender los patrones pueden seguir trabajando con las tarjetas.

Curiosamente, este ciclo se repite. Los estudiantes que pueden captar los patrones realmente no tienen que memorizar un montón de cosas para hacer matemáticas. La mayoría siempre está intentando memorizar todas las fórmulas, cuando, si en realidad, COMPRENDEN sólo un par de cosas, están mucho mejor.

Answer 2

No estoy seguro de este patrón. Pero el cálculo (suma y multiplicación) utilizando el reloj módulo 12 o módulo 24 es algo que los niños son capaces de entender. Yo empezaría con un reloj módulo 4 para explicar la suma (por ejemplo $2+3=1$ ) y la multiplicación (digamos $2\cdot 3 = 2$ ).