¿Por qué necesitamos saber la forma de la diapositiva, para encontrar el tiempo para deslizarse sobre ella?

Question

En mi libro de física después de esta solucionado ejemplo:

Un niño de masa $m$ está inicialmente en reposo en la parte superior de un tobogán de agua a la altura h = 8.5 m por encima de la parte inferior de la diapositiva. Suponiendo que la diapositiva es sin fricción a causa de agua, encontrar la velocidad de el niño en la parte inferior de la diapositiva.

un comentario fue escrito:

Si nos preguntaran a encontrar el tiempo necesario para que el niño llegue a la parte inferior de la diapositiva, métodos sería de ninguna utilidad; necesitaríamos saber la forma de la diapositiva y tendríamos un problema difícil.

¿Por qué el autor dice que necesitaríamos saber la forma de la diapositiva, para encontrar el tiempo necesario para que el niño alcance la parte inferior de la diapositiva? No podemos usar la primera ley de Newton del movimiento en aceleración uniforme a encontrar el tiempo?

podemos encontrar la velocidad en la parte inferior $v$ = $\sqrt{2gh}$ = $13m/s$(aprox) El uso de la primera ley de $v = u + $ $13 = 0 + 9.8 t$ $t = 13/9.8$

Answer 1

Sólo a modo de aclaración, voy a explicar cómo obtener el tiempo necesario para que una curva arbitraria.

Si $h$ es la altura inicial del niño y $y$ la altura una vez que ha empezado a caer. Por conservación de la energía:

$$mgh=mgy+\frac{1}{2}mv^2\implica que v=\sqrt{2 g(h-y)}\etiqueta{1} $$ Sabemos que conocer la velocidad en cualquier momento. Deje que nos indican la posición horizontal como $x$.

La distancia recorrida en un pequeño intervalo de tiempo puede ser escrita como:

$$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}dy=\sqrt{1+x^2}dy$$

Por lo que la velocidad es:

$$v=\frac{ds}{dt}=\sqrt{1+x^2}\frac{dy}{dt}$$

La inserción de esta ecuación en $(1)$ y la integración conduce a:

$$t=\frac{1}{\sqrt{2 g}}\int_0^s \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{h-y}}dy $$

Esta integral da el tiempo necesario para llegar a la tierra, dado cualquier curva de $y(x)$.

Además, es posible obtener dicha curva, el tautochrone, que el tiempo que toma es independiente del punto inicial:

Fuente de la imagen

Answer 2

La forma de la diapositiva definitivamente determina el tiempo que se tarda en ir hacia abajo. Considerar si la diapositiva fue completamente vertical. Ahora, un famoso [recientemente fallecido :( ] el comediante tenía la astuta observación poderes a punto de que esta sería, de hecho, ser una gota, no una diapositiva. Sin embargo, puedes llegar a la parte inferior. Ahora, imagínese si la diapositiva fue como una montaña rusa; se fue hacia abajo, después hacia arriba, luego hacia abajo, etc. sólo de llegar a la tierra en el final. Este movimiento arriba y abajo es simplemente un resultado de la forma de la diapositiva y que necesariamente debe tomar más que simplemente ir en línea recta hacia abajo una vez. Así que ya ves, hallar el tiempo que tarda en recorrer la diapositiva es muy dependiente de la forma de la diapositiva

Answer 3

¿Por qué el autor dice que necesitaríamos saber la forma de la diapositiva, para encontrar el tiempo necesario para que el niño alcance la parte inferior de la diapositiva?

Como ya hemos descubierto, la velocidad al bajar sin fricción diapositiva sólo depende de la distancia vertical. Esta velocidad no es la componente vertical de la velocidad. Es la magnitud de la velocidad. La componente vertical de la velocidad será menor que esta en una inclinado diapositiva.

Para hacer la geometría tan simple como sea posible, voy a buscar en la inclinadas rampas (sin baches, sin curvas, sólo una rampa en ángulo inclinado con respecto a la horizontal). Para mantener los números más simples, voy a usar g=10 m/s² en lugar de 9.80665 m/s². Supongamos que la diapositiva tiene una caída vertical de 5 metros. Esto significa que la velocidad en la parte inferior de la diapositiva es de 10 m/s. La velocidad promedio es la mitad, 5 m/s.

Ahora vamos a poner de diferente longitud se desliza en su lugar. Una diapositiva de 5 metros de largo significa que están cayendo en lugar de deslizamiento. Se tarda un segundo en caer 5 metros. Lo que si hemos utilizado una de diez metros de largo diapositiva (es decir, inclinada en un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal). La velocidad no ha cambiado, pero la distancia se ha duplicado. Toma dos segundos para que se deslice hacia abajo esta diapositiva; dos veces tan largo como la caída vertical. El uso de una aún más larga de la diapositiva, pero sigue siendo una de 5 metros de caída vertical, y se necesita más tiempo para llegar a la parte inferior. Con 50 metros de largo diapositiva (5.74 grados con respecto a la horizontal), se tarda diez segundos, o diez veces más tiempo para llegar a la parte inferior en comparación con la caída vertical.

En general, el tiempo necesario para llegar al fondo de un sin fricción rampa inclinada está dada por $t_\text{slide}=\frac l h t_\text{verde}$, donde $$ l es la longitud de la rampa, $h$ es la caída vertical, y $t_\text{verde}$ es el tiempo que tarda en caer la misma distancia vertical.

Answer 4

En su trabajo se ha asumido que $a=g$ - esto es cierto si la diapositiva es vertical.

Las diapositivas tienen un cierto ángulo, $\theta$ (por ejemplo, $45^\circ$), lo que significa que la aceleración, $a$ es dada por $$a = g ~sin \theta$$

Tenga en cuenta que $a$ le que ser menos de $g$, por el valor de $pecado$ plazo será de entre $0$ y $1$. (excepto en el caso de un deslizante vertical $\theta=90^\circ$ y $sin \theta=1$ para $a=g$).

Pero aún no hemos terminado todavía, porque la mayoría de diapositivas rematar horizontal y por lo que habrá una curva en la diapositiva en la parte inferior.

Answer 5

Además de las respuestas existentes, vale la pena señalar que el hecho de que una diapositiva se ralentiza algo se desliza hacia abajo es en realidad cómo Galileo confirmó que los objetos caen a la misma velocidad independientemente de su masa. Simplemente colocándolos no funciona bien porque las cosas se caen demasiado rápido a la hora de, por lo menos con el Renacimiento de la tecnología. Así construyó en ángulo de diapositivas que se frenaría la caída, lo que le permite obtener mejores mediciones del tiempo que se estaba tomando las cosas al caer.

También, imagino que si las cosas no funcionan de esta manera. Podríamos construir muy eficientes sistemas de transporte mediante la construcción de muy ligeramente inclinada superficies: decir, tienen que ser de diez pies de alto en un extremo, y al final de veinte millas de distancia y cinco pies de alto. A continuación, usted sería capaz de viajar a veinte millas en el mismo tiempo que le tomó a la caída de cinco metros.