probar este $\int_{0}^{2}f^2(x)dx\le\int_{0}^{2}f'^2(x)dx$

Question

que $f\in C^1[0,2]$ y el tal $\int_{0}^{2}f(x)dx=0,f(0)=f(2)$,

Mostrar que %#% $ #%

Creo que debemos utilizar la desigualdad de $$\int{0}^{2}f^2(x)dx\le\int{0}^{2}f'^2(x)dx$

mi idea: he veo este % que $Cauchy$y $f(x)\in C^1([a,b],R)$, muestran que: $f(a)=f(b)=0$ $ pf: $$\displaystyle\int{a}^{b}f^2(x)dx\le\dfrac{(b-a)^2}{8}\displaystyle\int{a}^{b}[f'(x)]^2dx$ $ después $ de $$|f(x)|=|f(x)-f(a)|\le\sqrt{x-a}\left(\displaystyle\int{a}^{x}[f'(t)]^2dt\right)^{\frac{1}{2}}$ para que podamos $$f^2(x)\le(x-a)\displaystyle\int{a}^{x}[f'(t)]^2dt\le(x-a)\displaystyle\int{a}^{b}[f'(t)]^2dt$ $a$ que tenemos; $b$ $ entonces utilizamos $$\displaystyle\int{a}^{b}f^2(x)dx\le\displaystyle\int{a}^{b}\left[(x-a)\displaystyle\int{a}^{b}[f'(t)]^2dt\right]dx=\dfrac{(b-a)^2}{2}\displaystyle\int{a}^{b}[f'(x)]^2dx$ $\dfrac{a+b}{2}$, entonces %#% $ de #% otra parte, para cualquier $b$, que $$\displaystyle\int{a}^{\frac{a+b}{2}}f^2(x)dx\le\dfrac{(b-a)^2}{8}\displaystyle\int{a}^{\frac{a+b}{2}}[f'(x)]^2dx$ $ podemos $x\in[\frac{a+b}{2},b],f(x)=-\displaystyle\int{x}^{b}f'(t)dt$ $$f^2(x)=\left(\displaystyle\int{x}^{b}f'(x)dx\right)^2\le(b-x)\displaystyle\int{x}^{b}[f'(t)]^2dt$ tiene:\begin{align} &\displaystyle\int{\frac{a+b}{2}}^{b}f^2(x)dx\le\displaystyle\int{\frac{a+b}{2}}^{b}(b-x)\left(\displaystyle\int{a}^{b}[f'(t)]^2dt\right)dx\le \displaystyle\int{\frac{a+b}{2}}^{b}(b-x)dx\left(\displaystyle\int{\frac{a+b}{2}}^{b}[f'(t)]^2dt\right)dx\ &=\left(\displaystyle\int{\frac{a+b}{2}}^{b}(b-x)dx\right)\left(\displaystyle\int{\frac{a+b}{2}}^{b}[f'(x)]^2dx\right)\ &=\dfrac{(b-a)^2}{8}\displaystyle\int{\frac{a+b}{2}}^{b}[f'(x)]^2dx \end {Alinee el} entonces $\dfrac{a+b}{2}$ $

que $b$, entonces tenemos %#% $ #%

Answer 1

La hipótesis de permitir a ver $f$ como un continuo $2$-función periódica, a trozos $C^1$. De trabajo en $L^2(0,2)$, los coeficientes de Fourier de $f$ $f'$ $$ c_n(f)=\frac{1}{2}\int_0^2f(x)e^{-i\pi nx}dx\qquad c_n(f')=i\pi nc_n(f) $$ donde la segunda fórmula de la siguiente manera a partir de una integración por partes. En particular, $c_0(f')=0$. Tenga en cuenta que tenemos $c_0(f)=0$ por supuesto. Por lo tanto Parseval para $f$ $f'$ rendimientos $$ \frac{1}{2}\int_0^2|f(x)|^2dx=\sum_{n\geq 1}|c_n(f)|^2\leq \sum_{n\geq 1}\pi^2n^2|c_n(f)|^2=\frac{1}{2}\int_0^2|f'(x)|^2dx. $$ Tenga en cuenta que este es estricta tan pronto como exista $n$ tal que $c_n(f)\neq 0$. Desde $f$ es seccionalmente $C^1$, es igual a su serie de Fourier que converge con normalidad. Así que tenemos la igualdad si y sólo si $f=0$ bajo las suposiciones.

Por último, señalar que este argumento de los rendimientos de la mayor desigualdad $$ \int_0^2|f(x)|^2dx\leq \frac{1}{\pi^2}\int_0^2|f'(x)|^2dx. $$ Y esta es la óptima, teniendo en cuenta $f(x)=\sin (\pi x)$.