Deje que$f : \Bbb R \rightarrow \Bbb R$ sea una función tal que$p>0$, que$f(x+p) = f(x)$ para todos$x \in \Bbb R$. Mostrar que$f$ tiene un máximo absoluto y mínimo

Question

Problema: Vamos a $f : \Bbb R \rightarrow \Bbb R$ ser un contiunous función tal que para algún número real $p>0$, $f(x+p) = f(x)$ para todos los $x \in \Bbb R$. Mostrar que $f$ tiene una absoluta max y min.

Pensamientos: Por el teorema de rolle, sé que entre $f(x+p)$ $f(x)$ tiene que haber un mínimo local si $f$ es diferenciable en este intervalo abierto, pero estoy francamente confundido por la situación exacta de la pregunta, y de hecho he incluido una imagen que puede ser un contra-ejemplo, si la pregunta no se ha indicado correctamente(perdón por la crudeza de la imagen) suponiendo que la función continúa de esta manera infinitamente

Edit: Como por un comentario, ya que $f$ no está demostrado que sea derivable en el intervalo, entonces el teorema de Rolle no se aplica.

Véase también mi respuesta para una respuesta a mi confusión inicial.

Answer 1

Recuerde que si una función con valor real$g(x)$ es continua en un intervalo cerrado y delimitado$[a,b]$, entonces tiene un máximo y mínimo global en$[a,b]$.

Y como$f(x)$ es periódico con el período$p$, se deduce que$f$ está determinado por sus valores en$[0,p]$. Por lo tanto, el máximo global para$f$ en$[0,p]$ es un máximo global para$f(x)$ en$\mathbb{R}$.

Answer 2

SUGERENCIA

Usted está en el camino correcto usando el teorema de Rolle ya que normalmente, siempre que la derivada es cero (local) máximo o mínimo que se espera. Sin embargo, esto no está garantizado, y además, como @Jonas señaló, esto requiere que la función sea diferenciable, que no sabemos de antemano. En su lugar, utilice el siguiente teorema

Una función continua definida en un intervalo cerrado siempre llega a su valor máximo y el mínimo.

Os dejo una sugerencia para el siguiente paso, pero me animo a probarlo por su cuenta antes de tomar una mirada en ella :)

La idea es aplicar este teorema en el intervalo de $[0,p]$, luego de llegar locales min y max. Se puede mostrar estos son en realidad global?

Answer 3

Teorema: cualquier mapa continuo en un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo.

Aplique esto al intervalo$[0,p]$. Dado que para cualquier$x \in R$ tenemos algunos$x_0 \in [0,p]$ tales que$f(x)=f(x_0)$, el máximo en ese sub-intervalo es de hecho un máximo global.

Nota: No se hicieron suposiciones de diferenciabilidad.

Answer 4

Siento que debería agregar un hecho interesante que fue la base de mi confusión. Tomar cualquiera $x \in \Bbb R$. Luego, para algunos$p > 0$,$f(x+p) = f(x)$ y$f((x+p) + p) = f(x+p) = f(x)$ y así continuar de esta manera$f(x+np) = f(x)$ para todos$n \in \Bbb N$.