Resolución de $p$ y $k$.

Question

Para la pregunta,

$$F(x)= x^{2} + 6x + 20 + k(x^{2} -3x -12)$$

Tengo que encontrar el valor de k y el valor de $p$ dado que el valor mínimo de $F(x)$$p$$F(-2) = p$.

Lo que hice es: he ampliado la expresión de $F(x)$ y alcanzó un plazo para $p= 12 - 2p$. Traté de completar el cuadrado de los dos cuadráticas de $F(x)$ por separado a continuación, añadir los dos términos, mientras también para la corrección de los coeficientes. Dudo que esta operación, sin embargo, fue a por él de todos modos debido a alguna de las alternativas parecen mal.

He llegado al término de $-\frac {39}4k + 11$ luego rápidamente se equiparaba a $12 - 2k$.

He alcanzado el valor de $-\frac{4}{31}$$K$.

Mi libro tiene las respuestas para$k = \frac{2}{7}$$p=\frac{80}{7}$.

Answer 1

Usted puede tratar de completar el cuadrado directamente. Observe que el mínimo de $F(x)$ se encuentra en $x = -2$, e $F(-2) = p$. Esto significa que

$$F(x) = a(x + 2)^2 + p$$

para algunas constantes $a$. No podemos asumir la $a = 1$ porque cualquier valor distinto de cero de a $a$ puede trabajar, por lo que salir de allí como es.

Ahora seguimos adelante y resolver, como es habitual, la comparación de los coeficientes:

$$a(x + 2)^2 + p = x^2 + 6x + 20 + k(x^2 - 3x - 12)$$ $$ax^2 + 4ax + (4a + p) = (k + 1)x^2 + (6 - 3k)x + (20 - 12k)$$

La comparación de los coeficientes, tenemos

$$k + 1 = a~~~~,~~~~4a = 6 - 3k~~~~,~~~~4a + p = 20 - 12k$$ En primer lugar, $$4a = 6 - 3(a - 1)$$ $$4a = 9 - 3a$$ $$7a = 9$$ $$a = \frac{9}{7}$$ En segundo lugar, $$\begin{align}k &= a - 1 \\&= \frac{9}{7} - 1 \\&= \frac{2}{7}\end{align}$$ Y, por último, $$4a + p = 20 - 12k \implies 4\cdot\frac{9}{7} + p = 20 - 12 \cdot\frac{2}{7}$$ $$p = \frac{80}{7}$$

Answer 2

Una cuadrática $ax^2+bx+c$ % término líder positivo $a\gt0$alcanza su mínimo en $-\cfrac{b}{2a}\,$.

Reescritura de $F(x) = (1+k)x^2+(6-3k)x+20-12k\,$ se deduce que: $$-\cfrac{6-3k}{2(1+k)}=-2 \quad \implies \quad k = \cfrac{2}{7}$ $

(Desde el principal término $1+k = 1 + \cfrac{2}{7}\gt 0$ esta es una solución válida).

Sustitución de $k$ da vuelta $F(x)=\cfrac{9}{7} x^2+\cfrac{36}{7} x + \cfrac{116}{7}\,$, entonces el $p=F(-2)=\cfrac{80}{7}\,$.