Encontrar los grados del mapa de fijación del $2$ -célula del toroide

Question

Estoy intentando calcular los grados del mapa de unión de las dos celdas del toro. Tengo la siguiente estructura de celdas:

El $2$ -La célula es $e_2$ y el $0$ -célula (las cuatro esquinas) es $e_0$ .

He llamado al mapa adjunto de $e_2$ $f_2$ y lo definió como

$$ f_2 : \partial e_2 \to X^{(1)}, e^{i\theta} \mapsto e^{i\theta}$$

El $1$ -El esqueleto parece una figura de ocho.

Aquí es donde me he atascado. Para encontrar los grados de $f_2$ en $e_1^1$ y $e_1^2$ respectivamente se utilizarían los mapas

$$ \partial e_2 \to X^{(1)} \to X^{(1)}/(X^{(1)}\setminus e^1_1)$$

$$ \partial e_2 \to X^{(1)} \to X^{(1)}/(X^{(1)}\setminus e^2_1)$$

El espacio $X^{(1)}/(X^{(1)}\setminus e^1_1)$ es una copia de $S^1$ porque la eliminación de un $1$ -célula de la figura del ocho deja una copia de $S^1$ y tomando el cociente de la cifra ocho por $S^1$ da una copia de $S^1$ .

Por lo tanto, el grado de $f_2$ es igual a $1$ en ambos $1$ -células.

El problema con esto es que para el mapa de límites entonces obtengo

$$d_2 = e_1^1 + e_1^2$$

cuando debería estar recibiendo

$$ d_2 = e_1^1 - e_1^2 -e_1^1 + e_1^2 = 0$$

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Cómo puedo calcular los grados de este mapa adjunto?

Answer 1

EDIT: He intentado mejorar mi respuesta aclarando primero tu método, y dando más detalles sobre un segundo método. ¡Espero que esto ayude!

En primer lugar, es habitual utilizar los superíndices para la dimensión, por lo que uno podría etiquetar más típicamente las celdas 1 $e^1_1$ y $e^1_2$ . (Esto se hace en Hatcher, en particular).

Método 1: Su problema consiste en malinterpretar los mapas adjuntos.

La imagen que dibujas indica inmediatamente que $\partial e^2 = e_1^1+e_2^1-e_1^1-e_2^1=0$ . Una forma de verlo es imaginar por un momento que aún no has identificado las células 1. Entonces se podría decir que el mapa era $\partial e^2 = e_1^1+e_2^1-e_3^1-e_4^1$ . Pero en el toroide tenemos $e_1^1=e_3^1$ y $e_2^1=e_4^1$ .

Tal vez el punto clave de la confusión es que, aunque el mapa de los límites sí equivale a dos mapas $S^1 \to S^1$ los mapas NO son de grado 1. Después de todo, los mapas $S^1 \to S^1$ puede tomar cualquier número entero como grado. En su caso, $e^2$ se une a cada célula 1 DOS veces, por lo que los grados podrían ser 1+1 o 1-1, dependiendo de la orientación.

Método 2: Si prefieres un método un poco más riguroso que el uso de imágenes, ten en cuenta que para los fines de la homología es suficiente describir un mapa hasta la homotopía. Así, podemos describir el mapa por el comportamiento inducido en los grupos fundamentales.

Tenemos $\partial e^2 = S^1$ . El grupo fundamental del círculo está generado por la (clase de homotopía del) bucle $ \phi : [0,1] \to S^1, t \mapsto e^{2\pi i t}$ . En este ejemplo, $X^{(1)}$ es una cuña de dos círculos, con grupo fundamental isomorfo al grupo libre generado por $\alpha,\beta$ que representan las clases de homotopía de los bucles alrededor de cada uno de los factores del círculo.

Así que podemos describir el mapa de fijación $\partial e^2 \to X^{(1)}$ por $[\phi] \mapsto \alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1}$ en los grupos fundamentales.

El primer grupo de homología $H_1 (X)$ es la abelianización del grupo fundamental, por lo que $\alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1}$ se convierte en $[\alpha] + [\beta] - [\alpha] - [\beta]=0$ .