¿La prueba de que un grupo de elementos invertibles en un álgebra de Banach tiene 1 o infinitos componentes conectados?

Question

Estoy tratando de conciliar esta la prueba de que he leído que un grupo de invertible elementos en un conmutativa (complejo) álgebra de Banach tiene 1 o infinito de componentes conectados con este ejemplo estoy mirando. El ejemplo es el álgebra de Banach, $\mathcal B$ con base a los elementos de $\{a,e\}$,$a^2=e$. Los valores singulares de esta álgebra de Banach son, creo $\{\lambda(a+e):\lambda\in\mathbb C\}$$\{\lambda(a-e):\lambda\in\mathbb C\}$, que debe crear $4$ cuadrantes.

La esencia de la prueba es que $\sigma(a)=\{1,-1\}$, por lo que debe definir el logaritmo de la rama de $\Omega\supseteq\sigma(a)$. Se extienden de este a $\mathcal B$, básicamente por su poder de la serie. Ahora $a'=\log(a)\in\mathcal B$, por lo que el $\exp(\lambda a'),\lambda\in[0,1]$ es un camino que conecta $a$$e$.

Creo que esta prueba, pero es difícil ver de dónde se rompe y atraviesa la singular límite en mi ejemplo, porque es muy duro para conseguir mis manos en la extensión de $\log$$\exp$. Alguna ayuda? Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Si su ejemplo, $\mathcal{B}$ un álgebra de Banach en lugar de un complejo de álgebra de Banach, entonces usted podría estar en lo correcto que hay cuatro componentes conectados, ya que $\mathcal{B}$ puede ser identificado con $\mathbb{R}^2$ y el invertible elementos dividida en cuatro cuadrantes. Pero sobre $\mathbb{C}$, usted tiene el complemento en $\mathbb{C}^2$ de dos (complejo) dimensiones de los subespacios, y este complemento es realmente conectado! Para ver por qué, tenga en cuenta que, por ejemplo, el complemento de a $\mathbb{C}\times\{0\}$ $\mathbb{C}^2$ está conectado, ya que este complemento es sólo $\mathbb{C}\times(\mathbb{C}\setminus\{0\})$ $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ (a diferencia de $\mathbb{R}\setminus\{0\}$) está conectado. Del mismo modo, el complemento de a $\mathbb{C}\times\{0\}\cup\{0\}\times\mathbb{C}$ también está conectado, ya que es $(\mathbb{C}\setminus\{0\})\times(\mathbb{C}\setminus\{0\})$. Por más complicados argumentos, se puede demostrar que el complemento de cualquier finito de la unión adecuada de los subespacios de un espacio vectorial complejo está conectado.