Este es un problema de Un Curso en la Moderna Física Matemática por Pedro Szekeres.
He aquí la cita para el problema que estoy de resolución de problemas:
Muestran que el mapa de $\mu$ $SL(2,\mathbb{C})$ para el grupo de Möbius es un homomorphism, y que el núcleo de este homomorphism es$\{I;-I\}$;. i.e Möbius grupo es isomorfo a $SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$.
Lo que hice fue definir
$$\mu:\left( \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\rightarrow m(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ where $ad-bc=1$. By taking the image of two unimodular matrix product gives us the composition of two Möbius transformations which is exactly the result we expect, it is easy to see why $\{I; I\}$ (matriz identidad y el "negativo" de la matriz de identidad) es el núcleo de este homomorphism, por el teorema de que va:
Si $\varphi: G\rightarrow G'$ es un homomorphism, a continuación, el factor de grupo $G/\ker(\varphi)$ es isomorfo con la imagen de los subgrupos $im(\varphi)\subseteq G' $
Puedo demostrar que el grupo de las transformaciones de Möbius es isomorfo a $SL(2,\mathbb{C})/\{I;-I\}$, no puede encontrar una manera de demostrar que es isomorfo a $SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$ porque pensé que sólo se podía factor de un grupo por un subgrupo normal de un grupo, no sé si es posible factor por un grupo que es isomorfo al subgrupo normal del grupo. Si ese fuera el caso, yo podría demostrar que $\{I;-I\}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2$ y, a continuación, probar que $SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2 \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I;-I\}$ que por transitividad debe ser isomorfo al grupo os transformaciones de Möbius. Si esto no es posible, no veo la manera de $\mathbb{Z}_2$ es un subgrupo normal de $SL(2,\mathbb{C})$.
