Derivado de $(a\,x)^{b\,x}$

Question

¿Hay alguna regla para diferenciar la función$(a\,x)^{b\,x}$?

Tengo que encontrar el derivado de$(x^2+1)^{\arctan x}$ y Wolfram | Alpha dice que la respuesta es$$\tan^{-1}(x) (x^2+1)^{\tan^{-1}(x)-1} \left(\frac{d}{dx}(x^2+1)\right)+\log(x^2+1) (x^2+1)^{\tan^{-1}(x)} \left(\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x))\right)$ $ ¿Hay alguna regla general para hacer eso? Gracias.

Answer 1

Su derivado de $(x^2+1)^{\arctan x}$ es el caso particular de $u(x)=x^2+1$ $v(x)=\arctan x$ de

$$\frac{d}{dx}\left(\left[ u(x)\right) ^{v(x)}\right)=v(x)\left[ u(x)\right] ^{v(x)-1}u^{\prime }(x)+\left( \ln u(x)\right) \left[ u(x)\right] ^{v(x)}v^{\prime }(x),$$

o la omisión de la variable $x$:

$$\left( u^{v}\right)^{\prime }=vu^{v-1}u^{\prime }+\left( \ln u\right) u^{v}v^{\prime }.$$

Esto puede ser derivada de la observación de que, desde el $u=e^{\ln u}$,$u^v=e^{v\ln u}$:

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left( u^{v}\right) &=&\frac{d}{dx}\left( e^{v\ln u}\right) \\ &=&e^{v\ln u}\left( \ln u\frac{dv}{dx}+\frac{v}{u}\frac{du}{dx}\right) \\ &=&u^{v}\left( \ln u\frac{dv}{dx}+\frac{v}{u}\frac{du}{dx}\right) \\ &=&u^{v}\ln u\frac{dv}{dx}+u^{v}\frac{v}{u}\frac{du}{dx} \\ &=&u^{v}(\ln u)v'+u^{v-1}vu'. \end{eqnarray*}$$

Otra posibilidad es considerar las variables $u$ $v$ (ambos, dependiendo $x$) en la función

$$z=f(u(x),v(x))=\left[ u(x)\right] ^{v(x)}$$

y determinar su total derivada con respecto a $x$:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} &=&\frac{d}{dx}\left( \left[ u(x)\right] ^{v(x)}\right) \\ &=&\frac{% \partial z}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{% dx} \\ &=&v(x)\left[ u(x)\right] ^{v(x)-1}u^{\prime }(x)+\left[ u(x)\right] ^{v(x)}\left( \ln u(x)\right) v^{\prime }(x) \end{eqnarray*}$$

porque

$$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial }{\partial u}\left( u^{v}\right) =vu^{v-1}$$

y

$$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial }{\partial v}\left( u^{v}\right) =\frac{\partial }{\partial v}\left( e^{\ln u\cdot v}\right) =e^{\ln u\cdot v}\ln u=u^{v}\ln u.$$

Para $u(x)=ax,v(x)=bx$, obtenemos

$$\frac{d}{dx}\left( \left( ax\right) ^{bx}\right) =bx\left( ax\right) ^{bx-1}+\left( ax\right) ^{bx}\left( \ln (ax)\right) b.$$

Answer 2

Suponiendo que te refieres a$(ax)^{bx}$, solo lo escribo como$(e^{\ln(ax)})^{bx}$ y uso la regla de la cadena (es decir,$e^{\ln(ax)bx} = e^{u(x)}$ y me voy de allí).

Answer 3

SUGERENCIA $\rm\ \ (F^G)'\ =\ (e^{G\:ln\ F})'\: =\ F^G\ (GF'/F + G'\ ln\ F)$

Answer 4

No responder a la parte de matemáticas, ya que Stijn tiene ya hecho, pero si usted haga clic en el "show steps" botón, Wolfram|Alpha muestra un posible camino para la derivación. He incluido la imagen para la derivación de $\frac{\partial}{\partial x} ((a x)^{b x})$

Un conjunto similar de pasos es suministrado por el otro derivado de la que desea tomar: http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx((x^2%2B1)^(tan^(-1)(x)))