Por lo que estuve leyendo este post Probabilidad axiomas (Kolmogorov) y así, en la respuesta había dicho que no tiene sentido hablar acerca de la consistencia de los axiomas de probabilidad, porque no es un sistema formal, pero sólo una parte de la teoría de la medida, pero ahora, no podemos decir que de la misma manera que no tiene sentido hablar acerca de la consistencia de PA, números Reales, la Geometría si todos ellos pueden ser reducidos a ZFC ? Lo que hace que la probabilidad caso diferente de otras teorías ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Estoy con Andrés en esto: no estoy de acuerdo con el vinculado respuesta y Asaf del comentario.
Permítanme responder a Asaf comentario del primero. Mientras que "el libre grupo en dos generadores es consistente" no tiene ningún sentido, es evidente que existe una serie de axiomas para la libre grupo en dos generadores" - es decir, los axiomas de la teoría de grupo, junto con la negación de cada trivial identidad de la participación de dos nuevos constante de símbolos - y se pregunta si ese conjunto de axiomas es consistente, la mayoría de los naturales de la prueba de que es, por supuesto, consta de primero, demostrando la solidez teorema y, a continuación, la construcción de la libre grupo en dos generadores y mostrando satisface la mencionada teoría. Este argumento requiere de algunos "metamathematical sobrecarga" tenemos que ser capaces de hablar acerca de los grupos, los axiomas, y la satisfacción - pero, por ejemplo, es fácilmente ejecutables en ZFC.
Ahora, en la probabilidad ejemplo de espacio. A diferencia de la situación anterior, los axiomas de probabilidad espacios no son de primer orden (por ejemplo, incluso diciendo que algo es un $\sigma$-álgebra nos lleva fuera de FOL). Eso no es de por sí un problema, pero no significa que tenemos que estar trabajando en un metatheory que puede hacer que el sentido de la relevancia de la lógica de segundo orden de la lógica va a hacer el trabajo igual de bien). ZFC, por ejemplo, será más que suficiente: ZFC demuestra que los axiomas de probabilidad espacios son conste.
Nota que dije "conste" en lugar de "de acuerdo." Generalizada de la lógica no necesariamente cuentan con sonido y completar los sistemas de prueba; por ejemplo, en un sentido muy fuerte que no hay una buena prueba de sistema de segundo orden de la lógica. Cuando trabajamos con la lógica de primer orden, la coherencia es una perfectamente significativo idea, pero cuando un manejo más complicado de la lógica de la semántica lado de las cosas es mucho mejor que la sintáctica lado de las cosas. Sin embargo, un corolario inmediato de la mencionada hecho es que ZFC prueba "Para cada prueba de sistema de sonido con respecto a la segunda orden de la lógica, de los axiomas de la probabilidad espacios son consistentes con respecto a la prueba del sistema." Tenga en cuenta que esto realmente es trivial (desde solidez exactamente nos dice que no hay nuevas vinculaciones pueden ser producidos), así que a pesar de las preocupaciones anteriores hay un muy buen sentido en el que ZFC demuestra "la probabilidad de espacio axiomas son consistentes."
