Pregunta de isomorfismo del anillo básico

Question

Que $R=\mathbb{Z}[x], I=(x^2+1,x+1).$ prueba que $R/I \cong \mathbb{Z}[i]/(i+1) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Estoy confundido con la mirada algo desordenado de $R/I$. Mi primer paso es definir el % de homorphism $f: R/I \rightarrow \mathbb{Z}[i]$pero luego no sé qué hacer, ayuda por favor!

Answer 1

Recordar el tercer Teorema de ismorphism para anillos: $\,R\,$ es un anillo con ideales $\,I\le J\le R\, $, entonces

$$\left(R/I\right)/\left(J/I\right)\cong R/J$$

En tu problema tenemos

$$\langle x^2+1\,\rangle\le\langle\,x^2+1\,,\,x+1\,\rangle\le\Bbb Z[x]\implies$$

$$\left(\Bbb Z[x]/\langle\,x^2+1\,\rangle\right)/\left(\langle\,x^2+1\,,\,x+1\,\rangle/\langle\,x^2+1\,\rangle\right)\cong\Bbb Z[x]/\langle\,x^2+1\,,\,x+1\,\rangle$$

Ahora solo se aplica bajo el mismo isomorfismo , tenemos

$$\Bbb Z[x]/\langle\,x^2+1\,\rangle\cong\Bbb Z[i]\;,\;\;\langle\,x^2+1\,,\,x+1\,\rangle/\langle\,x^2+1\,\rangle\cong\langle\,x+1\,\rangle$$

el isomorfismo es el que obtenemos del primer teorema de isomorfismo y el homomorfismo

$$\phi:\Bbb Z[x]\to\Bbb Z[i]\;,\;\;\phi(f(x)):=f(i)\;\;\;(\text{i.e., determined by}\;\;x\mapsto i\,)$$

para que bajo el % anterior, $\,\Bbb Z[x]\ge\langle\,x+1\,\rangle\mapsto\langle i+1\,\rangle\le\Bbb Z[i]\;$

Answer 2

Alternativamente, uno puede usar el $\color{blue}{\rm FIT}$ = Primero (frente a Terceros) Teorema de Isomorfismo de la siguiente manera.

$\quad \smash[t]{\Bbb Z\stackrel{h}{\a}}\, \Bbb Z[i\,]/(1\!+\!i)\ \ {\rm es}\ \ \color{#0b0}{\bf a,}\ \ {\rm por\ \ mod}\,\ 1\!+\!i\!:\ i\,\equiv -1\Rightarrow\:\!+\!b\,i\,\equiv\!-\!b\in \Bbb Z\ \\[0.1 em] \quad n\in \ker\ h\ffi 1\!+\!i\,\mediados n\ffi \dfrac{n}{1\!+\!i}\, =\, \dfrac{n\,(1\!-\!i\,)}2\,\\, \Bbb Z[i\,] \ffi \color{#c00}2\mediados n\\[1.2 em] \quad {\rm Para} \ \ \ \Bbb Z[i\,]/(1\!+\!i\,)\, \color{#0b0}{\bf =\ Im\:h}\!\smash[t]{\stackrel{\color{blue}{\rm\ \ \ FIT_{\phantom{I^2}}}}\cong} \Bbb Z/\ker h \,=\, \Bbb Z/\color{#c00}2\,\Bbb Z$

Del mismo modo para $\,\Bbb Z[x]/I,\,\ I = (x^2\!+\!1,x\!+\!1).\,$ $\, x\equiv -1\ $ por lo $\ h\,$ es sobre. $\ \ker h = \color{#c00}2\,\Bbb Z\,\ $ por

$\quad \color{#c00}2 = x^2\!+\!1-(x\!-\!1)(x\!+\!1)\in I,\ \ \ n\in I\,\Rightarrow\, n = (x^2\!+\!1)f+(x\!+\!1)g \smash[t]{\stackrel{\large\,\ x\,=\,-1\,\ }\Rightarrow} n = \color{#c00}2f(-1)$

Del mismo modo $\ \Bbb Z[x]/(f(x),x\!-\!a)\,\cong\,\Bbb Z/\color{#c00}{f(a)}\Bbb Z\ \ $ $\, \ f(x)\equiv \color{#c00}{f(a)}\,\pmod{\!x\!-\!a}$