¿Por qué una función Lipschitz $f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ ¿mapear conjuntos de medida cero a conjuntos de medida cero?

Question

¿Por qué una función Lipschitz $f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ ¿mapear conjuntos de medida cero a conjuntos de medida cero?

Es fácil demostrar esta afirmación si el dominio es acotado. ¿Hay alguna forma de extender el argumento a dominios no acotados? ¿Puede alguien darme alguna pista, o mostrarme un esquema de demostración sencillo?

Answer 1

Dejemos que $N$ sea un conjunto de medida cero. Entonces para cada $\varepsilon \gt 0$ podemos escribir $N \subset \bigcup_{k=1}^\infty B_k$ donde cada $B_k$ es una bola de radio $r_k$ y $\sum_k \mu B_k \lt \varepsilon$ . Pero entonces por la continuidad de Lipschitz $f(B_k)$ está contenida en una bola de radio $L\cdot r_k$ donde $L$ es la constante de Lipschitz de $f$ y por lo tanto $\mu^\ast f(B_k) \leq L^d \mu B_k$ para que $$ \mu^\ast f(N) \leq L^d \sum\nolimits_k \mu B_k \lt L^d \varepsilon. $$ Como $\varepsilon \gt 0$ era arbitraria, vemos que $f(N)$ debe tener una medida exterior nula y, por tanto, es un conjunto nulo.

Answer 2

así que dejemos $A \subseteq \mathbb R^d$ sea un conjunto con medida cero. Para $n \in \mathbb N$ dejar $A_n := B_n(0) \cap A$ . Entonces $A_n$ tiene medida cero como $A_n \subseteq A$ para cada $n$ y tenemos $A = \bigcup_n A_n$ . De su caso acotado se obtiene que $f(A_n)$ es de medida cero para cada $n$ . Pero como \[ f(A) = f \left ( \bigcup_n A_n \right ) = \bigcup_n f(A_n) \] $f(A)$ es una unión contable de conjuntos de medida cero y por tanto tiene medida cero.