Creo que has cometido algunos errores al escribir tus ecuaciones. Se puede escribir una ecuación diferencial ordinaria implícita: $$f(t,x,x') = 0$$ y se puede escribir un DAE: $$f(t,x,x') = 0$$ y como estas dos ecuaciones son sintácticamente iguales, es muy fácil confundirse con la distinción.
En primer lugar, quiero dejar clara una cosa. Cuando se habla de EDOs está bien hablar de una sola ecuación, por ejemplo, la ecuación $$y'(t) + y(t) + t = 0$$ es una ecuación diferencial ordinaria.
Pero cuando se habla de un DAE, siempre, en un caso no trivial, se habla de un sistema de ecuaciones. Si su DAE contiene sólo una ecuación, será una ecuación diferencial o una ecuación algebraica (en este contexto, algebraico significa que no contenga ningún derivado ). Por lo tanto, en el resto del puesto, $f$ y $y$ será vectores de funciones.
Así, la diferencia entre una EDO implícita sistema y un DAE sistema es, en cierto modo, que el sistema DAE puede contener ecuaciones y variables puramente algebraicas. El criterio más técnico y correcto es que el jacobiano $$\frac{\partial f(t,x,x')}{\partial x'}$$ debe ser no singular para el sistema $f(t,x,x') = 0$ para ser clasificada como una EDO implícita.
Para hacer más clara la distinción entre una DAE y una ODE implícita, se puede dividir el vector $x$ en dos partes, $x_D$ que contiene el $x$ para los que se producen derivaciones en el DAE y $x_A$ que contiene el algebraico $x$ es decir, el $x$ para la que no se produce ninguna derivada en el DAE, y escribimos el DAE en la forma $$f(t,x_A,x_D,x_D') = 0.$$ también podemos dividir la función $f$ en dos partes: $f_D$ que contiene las ecuaciones con derivadas y $f_A$ que no contenga ningún derivado.
Un ejemplo clásico de un DAE es la siguiente formulación para el movimiento de un péndulo: $$\begin{align} 0 &= x' - u \\ 0 &= y' - v \\ 0 &= u' - \lambda x \\ 0 &= v' - \lambda y - g\\ 0 &= x^2 + y^2 - L^2 \end{align}$$ donde $L$ (la longitud del péndulo) y $g$ (aceleración gravitatoria) son constantes. Clasificando las variables como diferenciales (pertenecientes a $x_D$ ) y algebraica (perteneciente a $x_A$ ), vemos que $x,y,u,v$ son diferenciales y $\lambda$ es algebraico. Todas las ecuaciones excepto la última (la restricción de longitud) son diferenciales.
Podemos calcular el jacobiano de este sistema. Ordenamos las funciones como arriba y las variables como sigue: $(x,y,u,v,\lambda)$ . Entonces el jacobiano será: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ que es singular ya que la última fila y la última columna son cero, por lo que el sistema es un DAE.
A menudo se quiere aplicar técnicas a un DAE para transformarlo en un DAE semiexplícito de índice 1 que puede escribirse como sigue: $$\begin{align} x_D' &= g_D(t,x_D,x_A) \\ 0 &= g_A(t,x_D,x_A) \end{align}$$ porque entonces $g_A$ puede, en teoría, resolverse para $x_A$ que puede ser insertado en $g_D$ que luego se puede integrar numéricamente.
El ejemplo del péndulo puede parecer tal cual en este formulario, pero su índice no es 1.
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Ver Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales-algebraicas .
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Gracias. Estaba leyendo "Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias" de Hairer y su explicación no era muy clara, sin embargo, el libro que me recomendaste me aclaró las cosas.