Sea $G$ tener orden $p^n m$ donde p es un primo y $p \nmid m$ . Supongamos que $m < 2p$ . Demuestre que $G$ tiene un subgrupo normal de orden $p^{n-1}$ ou $p^n$ .
He intentado aplicar los Teoremas de Sylow pero no veo cómo continuar en el caso en que los Teoremas de Sylow $p$ -subgrupo no es normal. Sea $P$ sea un Sylow $p$ -grupo. Entonces $\vert P \vert = p^n$ . Si $P$ es normal en $G$ hemos terminado, de lo contrario $k := \vert \operatorname{Syl}_G(p) \vert \ge 2$ . Por el Teorema de Sylow $k \mid m$ . Suponiendo que $m < 2p$ obtenemos que $m/k < p$ .
¿Voy por buen camino? Desde $m=[G:P]$ , $k=[G:N_G(P)]$ y $[G:P]=[G:N_G(P)][N_G(P):P]$ obtenemos que $m/k = [N_G(P):P] < p$ . No sé si esto es útil.
Sé que $P$ siendo un $p$ -tiene un subgrupo normal de orden $p^{n-1}$ . No veo por qué sería normal en $G$ sin embargo.
Prefiero las pistas a las respuestas completas.
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Si el subgrupo Sylow es normal, entonces hemos terminado. En caso contrario, el número de subgrupos de Sylow divide a $m<2p$ y es congruente con $1$ mod $p$ . De ello se deduce que $m=p+1$ . Eso parece que va a ser útil, así que supongo que se podría llamar una pista, ¡pero no tengo tiempo de terminar para averiguar lo útil que es!
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¿Puedo preguntarle de dónde ha sacado este problema?
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Supongamos que ningún subgrupo Sylow es normal. Consideremos $O_p(G)$ intersección de todos los Sylow $p$ -subgrupos. $O_p(G)$ es el núcleo de la acción de $G$ en los cosets de un Sylow $p$ -subgrupo que tiene $p+1$ elementos por la pista anterior por @MattSamuel . Entonces $[G:O_p(G)]$ divide $|S_{p+1}| = (p+1)!$ . Diga $O_p(G) = p^a$ y utilizando argumentos de teoría de números para obtener $a = n-1$ .