Si $I$ es un derecho ideal de un anillo $R$ $e \in I$ es idempotente, entonces $I=eI$?

Question

Reformulación de la pregunta: Si $I$ es un derecho ideal de un anillo de $R$ $e \in I$ es idempotente, entonces $I=eI$? He visto este resultado en una prueba y estoy tratando de verificar.

Para demostrar la igualdad, es fácil ver que $eI \subseteq I$, ya que el $eI \subseteq eR \subseteq I$, pero no puedo averiguar por qué $I \subseteq eI$. Es probablemente muy obvio, pero la solución es la evasión de mí. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Edit: Como se mencionó en los comentarios y respuestas, he cometido el error de no darse cuenta que el idempotente en cuestión tiene otras propiedades. es decir, si $R$ es unital anillo y una suma directa de derecho ideales $I$$J$, $1_{R}=e+f$ algunos $e \in I$$f \in J$. Entonces $\forall a \in I$, $a=1_{R}a=(e+f)a=ea+fa$. A continuación,$a-ea=fa \in I \cap J=0$, lo $a=ea$ y por lo tanto $I=eI$. $e$ es idempotente porque $e^{2}=(1_{R}-f)e=e-fe=e$ igualmente.

Answer 1

Se trata de una reiteración de la edición que incluyó en la pregunta:

Cometí el error de no darse cuenta que el idempotent en cuestión tiene propiedades adicionales. es decir, si $R$ es un anillo unital y suma directa de ideales correcta $I$ $J$ y $1{R}=e+f$ $e \in I$ y $f \in J$. Entonces $\forall a \in I$, $a=1{R}a=(e+f)a=ea+fa$. Entonces $a-ea=fa \in I \cap J=0$, que $a=ea$ y $I=eI$. $e$ es idempotent porque $e^{2}=(1_{R}-f)e=e-fe=e$ del mismo modo.

Answer 2

Esto claramente no es cierto en general: el elemento $0$ es idempotent en cualquier anillo, sino $0I \neq I$ para cualquier % ideal distinto de cero $I$.

Sin embargo, en tu comentario dices que en el transcurso de la prueba que estás leyendo, se muestra que hay un elemento idempotente del $e$ tal que $I = eR$. En este caso, $eI = I$. Ya has observado que $eI\subseteq I$ y para la otra dirección, si $x\in I$, entonces el $x\in eR$, que $x = ey$ $y\in R$, por lo tanto, $ex = eey = ey = x$ y $x\in eI$.