Deje que $(X,d)$ ser un espacio métrico, $f:X \to \mathbb R$ una función de Lipschitz. Uno puede definir la constante local de Lipschitz de $f$ como $$ \DeclareMathOperator { \lip }{lip} ( \lip f) (x) = \begin {cases} 0 & \text { if } x \text { is isolated,} \\ \displaystyle\limsup_ {y \to x} \dfrac {|f(y)-f(x)|}{d(x,y)} & \text { otherwise}. \end {cases} $$ Deje que $L$ ser la constante s.t. mínima. $$ |f(y)-f(x)| \leq Ld(x,y), \quad \forall x,y \in X. $$ Es inmediato mostrar que $ \lip f \leq L$ . Me preguntaba si realmente es verdad que $$ \sup_ {x \in X} \lip f(x) = L .$$ ¿Alguna idea para probar o refutar este hecho?
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JHance
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Así que hay una simple obstrucción a que esto en general sea cierto, que David Ullrich menciona en un comentario, más generalmente si tomamos $X = A \sqcup B$ un espacio métrico desconectado, entonces $ \lip f$ sólo depende de los valores de $f$ en la pieza de la partición (no el mismo componente, aunque si el componente no está abierto, considere las razones) Así que si cambiamos $f$ por diferentes constantes en $A, B$ no cambiamos las estimaciones locales de Lipschitz, pero sí las globales.
Ahora también hay contra-ejemplos menos triviales de la demanda. Considere el conjunto $A \subset \mathbb {R}^2$ , $A = \{( \cos\theta , \sin \theta ) : \theta \in [0, \pi ]\}$ con la métrica dada por la restricción de la métrica euclidiana. Ahora la función de coordenadas $ \theta $ es localmente lipschitz con constante $1$ pero entre los dos puntos finales cambia por $ \pi $ mientras que la distancia entre ellos es $2$ .
La idea esencial detrás de la construcción anterior es que incluso en espacios agradables podemos tener métricas globales que no son "convexas" en cierto sentido. Para un ejemplo de una ceja más alta podríamos considerar funciones de distancia agradable en un múltiplo arbitrario $M$ de tal manera que inducen una métrica de Riemann, y luego preguntan si $d'$ la distancia dada por las longitudes mínimas del arco con respecto a la métrica de Riemann, es la misma que $d$ (siempre deberíamos tener $d' \geq d$ ) y si no, entonces $x \mapsto d'(x,y)$ será en sí mismo un contra-ejemplo para al menos un $x,y$ .
