¿Todos los ordinales tienen una cardinalidad no mayor que$\aleph_\mathbb{0}$?

Question

Mis notas dicen que los ordinales$\omega + 1, \omega + 2, ... , 2 \omega, ... , 3 \omega, ... \omega^2, ... $ son contables, y por lo tanto tienen una cardinalidad igual a$\omega = \aleph_\mathbb{0}$. ¿Entonces me preguntaba si es justo decir que cada ordinal tiene una cardinalidad no mayor que$\aleph_\mathbb{0}$?

Alternativamente, creo que es posible que la secuencia de los ordinales infinitos enumerados anteriormente no incluya algunos de los ordinales con una cardinalidad mayor que los naturales ... pero no estaba seguro.

Answer 1

Usted no son correctos, por supuesto, no son ordinales de unbounded cardinalidades.

Tenga en cuenta que es suficiente para demostrar que existe un conjunto de contables de los números ordinales. Si hay un conjunto de contables ordinales, entonces Pedro pista completa el problema. Para ello, tenga en cuenta que usted puede encontrar en $\mathcal P(\omega\times\omega)$ copias de cada contables ordinal (como bien ordenamientos de $\omega$). Conclusión el uso de reemplazo contables ordinales hacer un conjunto.

Pero hay otro aspecto de su pregunta. Contables ordinales son cerrados bajo [definibles] contables de las operaciones (y más si suponemos el axioma de elección). Esto significa que siempre que tenemos una contables de proceso (indicado en tu post por $\ldots$) de su límite va a ser contables así. Con el fin de llegar a $\omega_1$, la primera de innumerables ordinal tenemos que utilizar un proceso que continúa por una cantidad no numerable de pasos.

Por lo tanto, su sugerencia de que se aumenta por $1$, luego de aumentar por $\omega$, luego se multiplica por $\omega$... todo lo que es una descripción que es inherentemente contables, de modo que usted no puede encontrar una contables secuencia cuyo límite es incontable. En orden a paso, usted necesita algo más fuerte.

¿Cuáles son las dos operaciones son más fuertes? Así, en $\sf ZFC$ hay dos de ellos:

1. El cardenal sucesor, lo que significa que vamos en el ordinal $\alpha$ al menos $\beta$ tal que $\alpha<\beta$ - y no hay bijection entre el$\alpha$$\beta$. En el caso de $\omega$ terminamos en la primera innumerables ordinal, conocido como $\omega_1$.

2. El cardenal exponenciación, o en su caso particular - el poder conjunto de la operación. Esto nos asegura que podamos crecer en la cardinalidad, por Cantor del teorema. Suponiendo que el axioma de elección, en el crecimiento de la cardinalidad significa ordinales que son al menos tan grande como el cardenal sucesor.

   Tenga en cuenta que estoy hablando de $\alpha\mapsto\ ^\alpha\beta$ algunos $\beta>1$, por supuesto.

---

También relevantes:

• ¿Cómo sabemos que un $ \aleph_1 $ que existe en absoluto?
• Definición mecánica de los números ordinales

Answer 2

Un consejo para empezar. Tome todos los ordinales contables, ordenados en tamaño. Pregunte: ¿están bien ordenados ? si es así, pregunte: ¿Cuál es el tipo de orden de esa secuencia de objetos? ¿Es un ordinal? ¿Debe ser más grande que cualquier ordinal contable?

Answer 3

(En ZFC) según el teorema de Cantor,$2^{\aleph_{0}}=\vert \mathcal{P}(\omega)\vert> \vert \omega\vert=\aleph_{0}$, de modo que$\vert P(\omega)\vert (\approx \mathbb{R})$ es un cardinal incontable y, por lo tanto, un ordinal (límite) incontable (aquí$2^{\aleph_{0}}$ es la exponenciación cardinal). La afirmación de que$2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}$, es decir, que el menos cardinal estrictamente mayor que$\aleph_{0}$ es$2^{\aleph_{0}}$, se conoce como Hipótesis Continua .

Answer 4

El% ordinal$\omega_1$ tiene cardinalidad$\aleph_1$ que es mayor que$\aleph_0$. De manera similar,$\omega_2$,$\omega_3$, .... tiene cardinalidades que son todas mayores que$\aleph_0$.

Se puede decir que cada ordinal contable tiene una cardinalidad que no es mayor que$\aleph_0$, de hecho, la cardinalidad es igual a$\aleph_0$.

Tenga en cuenta que los ordinales$\omega + 1, \omega + 2, ... , 2 \omega, ... , 3 \omega, ... \omega^2, ... $ son todos ordinales contables, sin embargo,$\omega_1$ es el primer ordinal no contable.