Subconjunto de$[0,1] \times [0,1]$ con secciones transversales verticales finitas y secciones transversales horizontales cofinitas

Question

¿Existe un conjunto de $S \subseteq [0,1] \times [0,1]$ ( $\mathbb{R}^2$ ) tal que:

• para todos $x$, $\{y : (x,y) \in S\}$ es finito; y

• para todos $y$, $\{x : (x,y) \notin S\}$ es finito?

En otras palabras, la vertical de la sección transversal en cualquier $x$-coordinar es finita, mientras que la horizontal de la sección transversal en cualquier $y$-coordinar está cofinite.

---

Esta pregunta es puramente conjunto teórico, como $[0,1]$ podría ser sustituido por cualquier conjunto de cardinalidad $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$. Sólo estoy usando $[0,1]$ a la ayuda con la intuición.

El total de la cardinalidad es el mismo de contar en la dirección horizontal o vertical en primer lugar, así que no puedo pensar en una sencilla razón por la que un $S$ no existiría.

$S$ necesariamente tiene exterior (Lebesgue) medida $1$ e interior (Lebesgue) medida $0$. En particular, $S$ no es mensurable.

Desde $S$ no es medible creo que la respuesta a esto depende de alguna forma de que el axioma de elección. Lo que me gustaría más que ver es una construcción de las $S$ suponiendo que la elección, o una prueba de que $S$ no puede existir.

Answer 1

No. Es suficiente trabajar en$\omega_1 \times \omega_1$. Supongamos que$S_n = \{y : (n, y) \in S\}$ es contable para cada$n < \omega$. Elija un$y < \omega_1$ fuera de la unión de$S_n$ 's. Entonces$((\omega_1 \times \omega_1) \setminus S)^y = \{x : (x, y) \notin S\}$ es infinito.