Demostrar que $(\sum_{i=1}^n i)^2$ = $\sum_{i=1}^n i^3$ por inducción

Question

Demostrar que: $(\sum_{i=1}^n i)^2$ = $\sum_{i=1}^n i^3$

Puedo usar el hecho de que $\sum_{i=1}^n i$ = n(n+1)/2 después de que la hipótesis inductiva se invoca. No estoy seguro de por dónde empezar, por lo general se rompen un lado, pero no hay por lo general dos sumas de dinero, así que no estoy seguro.

Answer 1

Comprobar su verdadero para $n = 1$: LHS = 1 = RHS, por lo tanto la verdadera

Asumir cierto para $n$:

$(\sum_{i=1}^n i)^2$ = $\sum_{i=1}^n i^3$

Tenga en cuenta que el LHS $= \frac{n^{2}}{4}(n+1)^{2}$

Ahora debemos demostrar cierto para $n+1$:

Se requiere para demostrar que $(\sum_{i=1}^{n+1}i)^{2} = \sum_{i=1}^{n+1}i^{3}$

LHS = $\frac{(n+1)^{2}}{4}(n+2)^{2}$ = $\frac{n^{2}}{4}(n+1)^{2} +(4n+4)\frac{(n+1)^{2}}{4}$ = $\sum_{i=1}^n i^3 + (n+1)^{3} = \sum_{i=1}^{n+1}i^{3}$

por lo tanto LHS = RHS, por lo tanto cierto para $n+1$, de ahí que la inducción por cierto para $n \in \mathbb{Z}^{+}$

Answer 2

$$n=1 \(\sum_{i=1}^1 i)^2=\sum_{i=1}^1 i^3 \a1=1\\ (***)n=k \(\sum_{i=1}^k i)^2=\sum_{i=1}^k i^3\\ n=k+1 \(\sum_{i=1}^{k+1}i)^2=\sum_{i=1}^{k+1} i^3\\ (\sum_{i=1}^{k+1}i)^2=(\sum_{i=1}^{k}i+(k+1))^2=(\sum_{i=1}^{k}i)^2+(k+1)^2+2(k+1)(\sum_{i=1}^{k})\a (***)\\= \sum_{i=1}^k i^3+(k+1)^2+2(k+1)(\sum_{i=1}^{k})=\\ \sum_{i=1}^k i^3+(k+1)^2+2(k+1)(\dfrac{k(k+1)}{2})=\\ \sum_{i=1}^k i^3+(k+1)^2+(k+1)(k+1)k=\\ \sum_{i=1}^k i^3+(k+1)^2(1+k)=\\ \sum_{i=1}^k i^3+(k+1)^3=\\ \sum_{i=1}^{k+1}^3$$

Answer 3

Si $n = 1$, la hipótesis es verdadera.
Asumir que la hipótesis es verdadera para $n =k$ es decir
$(\sum_{i=1}^{k} i)^2 = \sum_{i=1}^{k} i^3$.
Ahora intenta demostrar que la hipótesis es verdadera si $n =k+1$.

Answer 4

$$\Big(\sum_{i=1}^{n+1}i\Big)^2=\Big(\sum_{i=1}^ni+(n+1)\Big)^2=\Big(\sum_{i=1}^ni\Big)^2+2(n+1)\sum_{i=1}^ni+(n+1)^2=$$ $$\sum_{i=1}^ni^3+n(n+1)^2+(n+1)^2=\sum_{i=1}^ni^3+(n+1)^3=\sum_{i=1}^{n+1}i^3$$