¿Qué es lo que hace exactamente $ \frac {dx}{dy}$ ¿maldito?

Question

Pregunté a tres profesores de mi universidad y ninguno me dio una respuesta clara, sino que se limitó a decirme las cualidades de esta anotación. Esto es lo que entiendo hasta ahora de lo que me dijeron:

1) Tratar la variable superior como variable cuando se encuentra la derivada
2) Tratar la variable inferior como una constante cuando se encuentra un derivado
3) Decía "Encuentra x con respecto a y", pero ¿qué significa eso exactamente? ¿Qué significa que algo sea con respecto a otra cosa?

Parece que $ \frac {dx}{dy}$ La notación cambia según los valores del problema. Por ejemplo, si $y = x^3 + 2x$ y $ \frac {dx}{dt} = 5$ encontrar $ \frac {dy}{dt}$ cuando $x=2$ . ¿Por qué los valores de $ \frac {dx}{dy}$ cambio en este problema y cómo lo resuelvo?

Answer 1

$\frac{d}{dx}$ , $\frac{d}{dt}$ , $\frac{d}{dy}$ etc. son todos operadores diferenciales lineales. Significan específicamente "diferenciar lo que viene después con respecto a lo que sea la variable de abajo". La notación es a veces problemática, porque es fácil abusar de ella.

Cuando escribimos algo como $\frac{dx}{dt}$ lo que realmente estamos diciendo es "diferenciar $x$ con respecto a $t$ ." Por supuesto, esta afirmación carece de sentido a menos que $x$ tiene cierta dependencia de $t$ .

Por ejemplo, digamos que $x = at^2+bt+c$ . Entonces, $\frac{dx}{dt}$ es básicamente decir "diferenciar $at^2+bt+c$ con respecto a $t$ . Pero como ese polinomio es igual a $x$ escribámoslo como $\frac{dx}{dt}$ ."

Cuando aplicamos $\frac{d}{dt}$ à $x$ no estamos multiplicando por alguna cantidad $\frac{d}{dt}$ . De hecho, $\frac{d}{dt}$ no es una cantidad, sino una operación. La forma de escribirla es complicada, porque puede resultar confusa.

Para más detalles sobre por qué lo escribimos así, consulte la excelente respuesta aquí: https://math.stackexchange.com/a/21209/31475

Answer 2

$\frac{d}{dx}y(x)$ indica cómo $y$ varía en función de $x$ y viceversa. Es sólo un metro de notación, aunque hay mucho más que saber.

Además, en tu último ejemplo: $$ \frac{dx}{dt}=5\Rightarrow x(t)=5t+x(0). $$ Así que..: $$ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=(3\cdot 2^2+2)\cdot 5. $$

Answer 3

Las respuestas existentes son estupendas, pero pensé que podría añadir algo a la pregunta. A veces utilizamos $\frac{dx}{dy}$ en ecuaciones (diferenciales) como cantidades. Como en $\frac{dx}{dy}$ representa " $x$ diferenciados con respecto a $y$ ." Es como decir $+$ es un operador definido (conocido como suma o adición), que puede operar sobre $a$ y $b$ . Así que la operación es $+$ y podemos escribir $a+b$ ser un cantidad es decir, la cantidad de $a$ que se han añadido a $b$ .

Del mismo modo, $\frac{d}{dy}$ es un operador. $\frac{d}{dy}(x)$ medios para realizar la operación de $\frac{d}{dy}$ en $x$ . Específicamente, $\frac{d}{dy}(x)$ significa "diferenciar $x$ con respecto a la variable $y$ ."

Así que al final, $\frac{dx}{dy}$ representa la cantidad de $x$ diferenciados con respecto a $y$ . Por eso los libros de texto suelen decir "encontrar $\frac{dx}{dy}$ ", porque deseamos encontrar lo que $x$ es al diferenciarlo con respecto a la variable $y$ .

Yo lo veo así: $\frac{dx}{dy}$ es el resultado final de $x$ que sufrieron diferenciación, y $\frac{d}{dy}$ es el operador real, al igual que $+$ es un operador.

Answer 4

He aquí un ejemplo:

Sea $y=x^2.$ Entonces quieres encontrar la derivada de $y$ con respecto a $x$ . Lo que significa que quieres encontrar $\frac{dy}{dx}$ . De otra forma, $\frac{d}{dx}(x^2)$ . Desde $y=x^2$ entonces $\frac{d}{dx}(x^2)=\frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}.$ Es una simplificación de la notación en sentido general.