Cómo expresar $\cos(\frac{x}{k})$ $\sin(\frac{x}{k})$ en términos de$\cos(x)$$\sin(x)$, respectivamente?

Question

¿Cómo podemos expresar $\cos(\frac{x}{k})$ ($k \in \mathbb{N}$) en términos de $\cos(x)$?

Y $\sin(\frac{x}{k})$ en términos de $\sin(x)$?

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Tal vez esta otra pregunta ayuda. Hay un $T_n(x)$ inversa? (Link no dice nada acerca de esto)

Si $\cos(x)=T_k(\cos(\frac{x}{k}))$, es no $T^{-1}_n(x)$ que $\cos(\frac{x}{k})=T^{-1}_k(\cos(x))$ tiene al menos una solución para la cuestión? ¿Cuál es el $T^{-1}_n(x)$ fórmula?

Answer 1

Para cualquier entero positivo $k$, la función trigonométrica $\cos ky$ es un polinomio en a $\cos y$. Por ejemplo, con $k = 2$, $$ \cos 2y = 2\cos^2 s - 1. $$ El polinomio aquí es $T_2(u) = 2u^2 - 1$. Con el fin de expresar $\cos y$ en términos de $\cos 2y$ (esto es equivalente a la expresión de las $\cos \frac{x}{2}$ en términos de $\cos x$ a través de la sustitución de $y = 2x$), tenemos que invertir la función polinómica $T_2$.

En otras palabras, usted tiene que resolver $v = 2u^2 - 1$$u$. Este no tiene una única solución, pero podemos describir los dos posibles soluciones: $$ u = \pm \sqrt{\frac{1 + v}{2}}. $$ Este es el conocido "de la mitad del ángulo de la fórmula para el coseno" $$ \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}. $$

Para mayor $k \in \mathbb{N}$, usted tiene que resolver el mayor grado de polinomio deecuaciones $$ v = T_k(u) $$ para $u$ con el fin de expresar $\cos \frac{x}{k}$ en términos de $\cos x$.