Elementos en el Producto Sigma álgebra de operadores

Question

Cómo puedo demostrar que un conjunto es un elemento de un producto $\sigma$-álgebra?
Tenemos $(X, m, \mu)$ $([0,1), \operatorname{Bor}([0,1)), \lambda)$ se miden los espacios ($\lambda$ es la medida de Lebesgue) y (X,m,$\mu$) es una medida finita del espacio. También, $f$: X$\rightarrow$$[0,1$$)$ medibles.

$$U = \{(x, t) \in X \times [0,1) : 0 \le t < f(x)\}$$

¿Cómo puedo probar que $U\in m\otimes\operatorname{Bor}([0,1))$?

He leído que, alternativamente, se podría demostrar que $X\times[0,1)$ es medible. ¿Por qué esto es equivalente?

Con el fin de mostrar $X\times[0,1)$ es medible agrego
$\forall x \in X$, $U_x=\{t\in [0,1) : (x,t) \in U \} \in \operatorname{Bor}([0,1))$
$\forall y \in [0,1)$, $U^y =\{x \in X : (x, t) \in U \} \in m$

Gracias por tu ayuda. Lo siento por el formato, soy un novato.

Answer 1

He aquí un método. Usted puede demostrar que $$U = \{(x,t) \mid 0 \leq t < f(x)\}$$ mediante la formación de $U$ como una contables de la unión de elementos de $m \otimes \text{Bor}[0,1)$. Recordemos que $f$ es el aumento de límite de funciones simples $f_n : X \rightarrow [0,1)$ de la forma $$ f_n(x) = \sum_{k = 0}^{2^n} k 2^{n} \cdot \chi_{f \in [2^{-n}k, 2^{-n}(k+1))}(x) $$ Vamos $$U_n = \{(x,t) \mid 0 \leq t < f_n(x)\} = \bigcup_{k = 0}^{2^n} \{f \in [2^{-n}k, 2^{-n}(k+1))\} \times [0,k 2^{-n})$$

Ahora a averiguar los siguientes:

1. Son las $U_n$'s medibles en $m \otimes \text{Bor}[0,1)$?
2. ¿Cuál es la relación entre el $U_n$'s y $U$?
3. ¿Cómo funciona esta relación, combinado con los axiomas para un sigma álgebra, demostrar que $U$ pertenece a $m \otimes \text{Bor}[0,1)$?