¿Por qué no esta definición de números naturales en la teoría de conjuntos axiomática?

Question

Estaba leyendo acerca de mayores definiciones de los números naturales en la Wikipedia aquí (en retrospectiva, no es el mejor lugar para aprender matemáticas) y llegó a través de la siguiente definición de los números naturales: (resumen)

Deje $\sigma$ ser una función tal que para cada conjunto $A$, $\sigma(A) := \{ x \cup \{ y \} \mid x \in A \wedge y \notin x \} $. A continuación, $\sigma(A)$ es el conjunto obtenido añadiendo ningún elemento nuevo a todos los elementos de a $A$. A continuación, definir $0 := \{ \emptyset \}$, $1 := \sigma(0)$, $2 := \sigma(1)$ et cetera.

La manera que tengo entendido esta definición es que el número natural $n$ está "definido" como el conjunto de todos los conjuntos con exactamente $n$ elementos. Esto sonaba sencillo para mí, hasta que leí el siguiente párrafo:

Esta definición funciona en la ingenua teoría de conjuntos, la teoría tipo, y en el conjunto de teorías que surgieron a partir de la teoría tipo, tales como las Nuevas Fundaciones y los sistemas relacionados. Pero no funciona en la axiomática de teoría de conjuntos ZFC y sistemas relacionados, debido a que en estos sistemas el de clases de equivalencia bajo equinumerosity son "demasiado grandes" para ser conjuntos. Para el caso, no hay ningún conjunto universal V en ZFC, bajo el dolor de la paradoja de Russell.

¿Por qué no esta definición de trabajo en ZFC? No entiendo cómo los conjuntos en esta definición son "demasiado grandes". Es parte del problema, sólo que no hay un "conjunto universal" para elegir el elemento $y$?

Intenté hacer algunos más a la lectura para encontrar mi respuesta, pero el material era manera de salir de mi profundidad. (Yo sólo estoy familiarizado con los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, la Paradoja de Russell, el Cantor de la diagonal argumento, y no mucho más. ) Así que pido disculpas de antemano si esto es realmente una simple pregunta...

Answer 1

"Demasiado grande" es un informal descripción de lo que va mal, y no es totalmente en su punto para la comprensión de cómo ZFC no permiten hacer esto.

Sería más honesto para describir el problema como

Simplemente no hay axioma de ZFC que le permitirá a la conclusión de que la notación $\{ x \cup \{y\} \mid x\in a, y\notin x\}$ describe el conjunto de lo que existe.

Recuerde que ZFC no soporte de rueda libre uso del conjunto generador de noation que se supone que $\{y\mid \phi(y) \}$ (donde $\phi$ es la lógica de la fórmula) siempre describe un conjunto. En lugar de tener sólo la separación que indica que las expresiones de la forma $\{y\in A\mid \phi(y)\}$ describir conjuntos, y el reemplazo de lo cual nos indica que las expresiones de la forma $\{F(y)\mid y\in A\}$ -- donde $F$ es alguna función que se puede definir por una fórmula lógica -- son conjuntos.

Sin embargo, $\{ x \cup \{y\} \mid x\in a, y\notin x\}$ no tiene esta forma, en lugar de que se ajuste el esquema de $\{ F(y) \mid \phi(y) \}$, y ni la Separación ni la Sustitución promete trabajar para esa situación.

(Si no has visto los axiomas de ZFC escrita, lo que probablemente ayude a su comprensión a buscar una explicación de ellos. En particular, lo que yo describo como, por ejemplo, "$\{y\in A\mid \phi(y)\}$ existe", es formalmente descrito por decir que, para cualquier fórmula $\phi(y)$ que no contenga $x$, la fórmula $$ \exists x.\forall y.(y\in x \iff y\in A \land \phi(y)) $$ es un axioma).

---

El "demasiado grande para ser un juego" es más una sugerencia en una respuesta a una pregunta diferente, a saber,

• ¿Por qué no podemos simplemente tener algo más de axiomas que dicen que lo podemos hacer esto?

La respuesta a esto es que en realidad podemos demostrar que $\{x\cup \{y\}\mid x\in A, y\notin x\}$ no no existen (que es diferente de no ser capaz de demostrar que lo hace), así, si hemos tenido un axioma que afirmaba que existía, el sistema sería incompatible.

En más detalle, la prueba podría ir así: Supongamos que para algún conjunto $A$, $$\sigma(A) = \{x\cup \{y\}\mid x\in A, y\notin x\}$$ existe. A continuación, $\bigcup A \cup \bigcup\sigma(A)$ -- que debe existir debido a ZFCs explícita Axioma de los Sindicatos -- sería un conjunto que contiene todos los elementos de a $A$, así como todos los elementos de los elementos de $A$, así como también todo el conjunto que se encuentra en ninguno de estos grupos. En otras palabras, este sería un conjunto de todos los conjuntos, y luego de la paradoja de Russell nos llevaría a una contradicción.

La presentación sólo este segundo argumento, sin explicar (o estresante) la primera, es una de las fallas más comunes de semi-popular descripciones de la teoría de conjuntos. Se puede dar a un lector la impresión de que algo debe ser permitido a menos que se le puede ver esto conduce a una paradoja, que es lo más definitivamente no cómo la teoría de conjuntos axiomática de las obras. La teoría de conjuntos axiomática obras diciendo desde el principio, "estas son las cosas que están permitidas" y, a continuación, con la esperanza de que ninguna combinación de esas cosas conducir a una paradoja.

El único valor real de la "si se pudiera hacer esto, se produciría una paradoja" el argumento es que una vez que vea lo que usted puede dejar de tratar de encontrar una manera de que está permitido.

Answer 2

Observe que, en virtud de esa definición, tenemos $$ \begin{split} 1 = \sigma(0) &= \sigma(\{\emptyset\}) = \{x \cup \{y\} : x \in \{\emptyset\} \land y \not \in x\} \\ &= \{ \emptyset \cup \{y\} : \text{y is a set}\}\\ & = \{ \{y\} : y \text{ is a set}\}\\ &= \{ z : |z| = 1\}. \end{split} $$

En ZFC, la colección de todos los conjuntos ("$V$") no se forma de un conjunto, de modo que la definición se rompe ya en la etapa de $1$. Si $\sigma(0)$ era un juego, a continuación, $V = \{y : \{y\} \in \sigma(0)\}$ también sería un conjunto. Así que es realmente la dificultad técnica. Frege y Russell propone que el número de $1$ podría ser definido a constar de todas las $1$-elemento de conjuntos, pero que colección de conjuntos no es en sí mismo un conjunto de ZFC.

La forma habitual de describir por qué $V$ no es un juego es que es "demasiado grande"; este sentido de la "grandeza" es una de las más comunes formas de motivar a los axiomas de ZFC, por lo que la Wikipedia autor aludido.

La idea de la "grandeza" es en realidad una alusión a la "jerarquía acumulativa" la visión de la teoría de conjuntos. Por desgracia, el acumulado de jerarquía es difícil de describir en una sola frase, porque depende ya de la noción de número ordinal. Pero la idea es que podamos formar una colección de conjuntos de etapa por etapa, de modo que el powerset de cada conjunto se formó en la siguiente etapa después de que el conjunto está formado, y para que todos los miembros de cada conjunto se forman en las etapas estrictamente antes de que el conjunto en sí es formada.

Una forma de comprender los axiomas ZFC es que sólo están tratando de describir los conjuntos que se forman a través de este proceso. Pero $V$ no se puede formar en cualquier etapa, ya que tendría que contener ya su powerset, pero el powerset debe ser formado en la siguiente etapa. Así que la afirmación de que $V$ es demasiado "grande" en realidad quiere decir que $V$ no se pudo formar en cualquier etapa del proceso.

Regreso a la definición de los números. Podemos imaginar que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si hay un bijection entre ellos. Esta es una relación de equivalencia, por lo que debe tener clases de equivalencia. Y la clase de equivalencia de a $\{\emptyset\}$ consistirá en cada conjunto que contiene exactamente un elemento. Esa es la idea detrás de la definición anterior. Pero estas equivalencias clases que no son conjuntos en el acumulado de jerarquía, de modo ZFC tiene problemas con ellos.

La manera en que solemos eludir este tipo de problema en ZFC es la selección de un "particular" representante de cada clase de equivalencia. Entonces, en lugar de referirse a la totalidad de la equivalencia de la clase, nos referimos sólo a ese representante. Los más utilizados para el conjunto de los representantes en ZFC son los ordinales de von Neumann. Así tenemos $$ \begin{split} 0 &= \emptyset\\ 1 &= \{\emptyset\} = \{0\}\\ 2 &= \{\emptyset, \{\emptyset\}\} = \{0,1\}\\ 3 &= \{0,1,2\} \end{split} $$ y así sucesivamente. Esto no es realmente muy diferente de la definición debido a Frege y Russell, como se puede ver.