Cómo demostrar que esta serie converge? $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln{(n^3+n)}}$

Question

esta serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln{(n^3+n)}}$$ es converger ？

Me conside $$\dfrac{x}{1+x}<\ln{(1+x)}<x$$ entonces $$\ln{(n^3+n)}\ge\dfrac{n^3+n-1}{n^3+n}$$ entonces $$\dfrac{1}{n\ln{(n^3+n)}}<\dfrac{n^3+n}{n(n^3+n-1)}$$ entonces yo no puedo,Gracias

Answer 1

Sugerencia: Utilice$n^3<n^3+n<n^4$$n>1$. A continuación, mostrar esta serie converge si y sólo si $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$ converge.

Answer 2

Me gustaría tratar de hacer que los términos más grande, pero la eliminación de la $ n $ desde dentro del registro. Desde $\ln (n^3 + n) > \ln (n^3) $, los recíprocos de revertir la desigualdad. A continuación, intenta una comparación integral.