Demostrar que $f(x)=f(y)$ entonces $|x|=|y|$ , donde $f(x )=\frac{1+|x|}{x}$

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R}^{*}\to \mathbb{R}$ función definida por $f(x )=\dfrac{1+|x|}{x}$

Demostrar que $f(x)=f(y)$ entonces $|x|=|y|$

Sí, es cierto, $$f(x)=f(y)\\ \iff \\\dfrac{1+|x|}{x}=\dfrac{1+|y|}{y} \\ \iff \\ \dfrac{1+|x|}{x}=\dfrac{1+|y|}{y} \\ \iff\\ \left|\dfrac{1+|x|}{x} \right|=\left| \dfrac{1+|y|}{y}\right| \\ \iff \\ \dfrac{1+|x|}{|x|} =\dfrac{1+|y|}{|y|} \\\iff \\ |y|+|xy|=|x|+|xy| \\ \iff \\ |x|=|y| .$$

¿Es correcta mi prueba? También estoy interesado en otros métodos.

Answer 1

La idea de la prueba es correcta, sin embargo la forma en que la escribiste es formalmente incorrecta, ya que algunas de las relaciones que marcaste con una equivalencia son sólo implicaciones. Por ejemplo, $$\frac{1+|x|}{x}=\frac{1+|y|}{y}\Rightarrow\left|\frac{1+|x|}{x}\right|=\left|\frac{1+|y|}{y}\right|$$ pero no al revés. ¡Tengan cuidado con esas cosas!

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(x)<0$ si $x<0$ y $f(x)>0$ si $x>0$ ya que $1+|x|$ es siempre positivo.

$$f(x) = \frac{1+|x|}{x} = \begin{cases} \frac1x+1 & x>0 \\ \frac1x-1 & x<0 \end{cases}$$

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Prueba 1:

Supongamos que $x,y>0$ entonces $f(x)=\frac1x+1=\frac1y+1=f(y)$ implica $x=y$ .

Supongamos que $x,y<0$ entonces $f(x)=\frac1x-1=\frac1y-1=f(y)$ implica $x=y$ .

Si $x<0$ y $y>0$ entonces $f(x)<0$ y $f(y)>0$ .

Si $x>0$ y $y<0$ entonces $f(x)>0$ y $f(y)<0$ .

Por lo tanto, siempre tenemos $x=y$ y por lo tanto también $|x|=|y|$ .

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Prueba 2:

$$f'(x) = -\frac1{x^2}$$

para todos $x\neq 0$ , donde $f'$ no está definido. Así que $f'(x)<0$ Así que $f$ es estrictamente decreciente en $(-\infty,0)$ y $(0, \infty)$ . Por lo tanto, $f(x) \neq f(y)$ para $x \neq y$ que son a la vez en $(-\infty,0)$ o $(0, \infty)$ . Así que si $f(x)=f(y)$ entonces $x=y$ y por lo tanto $|x|=|y|$ .

Si $x,y$ están en intervalos diferentes, entonces $f(x)$ es negativo y $f(y)$ positivo o viceversa.

Answer 3

Por $f(x) = f(y)$

\=> $ \dfrac{1+|x|}{x}=\dfrac{1+|y|}{y}$

\=> $ y+|x|y={x+x|y|}$

\=> $ y-x = x|y|-|x|y$ ....(1)

WLOG, Asumir $y≥x$ ....(2)

1) Si $y≥0$ , $x|y|-|x|y ≥ 0$ => $\frac{x}{y} ≥ \frac{|x|}{|y|}$

Porque $\frac{|x|}{|y|} = |\frac{x}{y}| ≥ \frac{x}{y}$ ,

$\frac{x}{y} = \frac{|x|}{|y|} $

sustituir en la ecuación(1) $x = y$

2) Si $y<0$ por la suposición (2)

$x<0$

$\frac{|x|}{|y|} =\frac{x}{y}>0$

en la misma forma de sustitución $x=y$

Answer 4

SUGERENCIA.-Si quieres ver otro método puedes, por ejemplo, examinar que para $x\gt 0$ y para $x\lt 0$ la función es claramente inyectiva y que $$|f(x)|=|f(-x)| $$