Dar sentido a las relaciones canónicas de anticomutación para los espinores de Dirac

Question

Cuando se hace QFT escalar se suelen imponer las famosas "relaciones de conmutación canónica" sobre el campo y el momento canónico: $$[\phi(\vec x),\pi(\vec y)]=i\delta^3 (\vec x-\vec y)$$ en tiempos iguales ( $x^0=y^0$ ). Es fácil (aunque tedioso) comprobar que esto implica una relación de conmutación para los operadores de creación/aniquilación $$[a(\vec k),a^\dagger(\vec k')]=(2\pi)^32\omega\delta^3(\vec k-\vec k') $$

Cuando se considera el campo de Dirac (espinor), es habitual (véase por ejemplo página 107 de las notas de Tong o el libro de Peskin & Schroeder) para proceder de forma análoga (sustituyendo los conmutadores por los anticomutadores, por supuesto). Postulamos \begin {Ecuación} \{ \Psi ( \vec x), \Psi ^ \dagger ( \vec y)|i \delta ^3( \vec x - \vec y) \end {ecuación} y, a partir de ellas, derivar las relaciones habituales para los operadores de creación/aniquilación.

Siempre había aceptado esto y creía en los cálculos presentados en las fuentes mencionadas, pero de repente me encuentro con la duda: ¿Tienen estas relaciones algún sentido para el campo de Dirac? Ya que $\Psi$ es un espinor de 4 componentes, realmente no veo cómo se puede dar sentido a la ecuación anterior: ¿No es $\Psi\Psi^\dagger$ a $4\times 4$ matriz, mientras que $\Psi^\dagger\Psi$ ¿es un número? ¿Tenemos que hacer el cálculo (espinor) componente por componente? Si es así, creo que veo algunas dificultades (en los cálculos habituales se necesita una identidad que depende de que los 4 espinores sean realmente 4 espinores). ¿Se pueden evitar de alguna manera? Se agradecería mucho una explicación detallada.

Como seguimiento, considere lo siguiente: Uno suele encontrar términos como éste en el cálculo: $$u^\dagger \dots a a^\dagger\dots u- u\dots a^\dagger a \dots u^\dagger $$ Incluso si se acepta que una ecuación como $\{\Psi,\Psi^\dagger\}$ tiene sentido, la mayoría de las fuentes simplemente "tiran del $u,\ u^\dagger$ fuera de los conmutadores' para obtener (anti)conmutadores de sólo los operadores de creación/aniquilación. ¿Cómo se justifica esto?

EDITAR : Me acabo de dar cuenta de que la relación de conmutación correcta quizás sustituya $\Psi^\dagger$ con $\bar \Psi$ (esto puede evitar cualquier problema que surja en un cálculo por componentes). Por favor, siéntase libre de usar cualquiera de los dos en una respuesta.

Answer 1

Uno suele comienza de la RCC para los operadores de creación/aniquilación y deriva de ahí las reglas de conmutación para los campos. Sin embargo, se puede partir de cualquiera de ellas (véase, por ejemplo aquí sobre esto). Supongamos entonces que queremos partir de las reglas de anticonmutación de igual tiempo para un campo de Dirac $\psi_\alpha(x)$ : $$ \tag{1} \{ \psi_\alpha(\textbf{x}), \psi_\beta^\dagger(\textbf{y}) \} = \delta_{\alpha \beta} \delta^3(\textbf{x}-\textbf{y}),$$ donde $\psi_\alpha(x)$ tiene una expansión de la forma $$ \tag{2} \psi_\alpha(x) = \int \frac{d^3 p} {(2\pi)^3 2E_\textbf{p}} \sum_s\left\{ c_s(p) [u_s(p)]_\alpha e^{-ipx} + d_s^\dagger(p) [v_s(p)]_\alpha e^{ipx} \right\}$$ o más concisamente $$ \psi(x) = \int d\tilde{p} \left( c_p u_p e^{-ipx} + d_p^\dagger v_p e^{ipx} \right), $$

y queremos derivar el RCC para los operadores de creación/aniquilación: $$ \tag{3} \{ a_s(p), a_{s'}^\dagger(q) \} = (2\pi)^3 (2 E_p) \delta_{s s'}\delta^3(\textbf{p}-\textbf{q}).$$ Para ello, queremos expresar $a_s(p)$ en términos de $\psi(x)$ . Tenemos: $$ \tag{4} a_s(\textbf{k}) = i \bar{u}_s(\textbf{k}) \int d^3 x \left[ e^{ikx} \partial_0 \psi(x) - \psi(x) \partial_0 e^{ikx} \right]\\ = i \bar{u}_s(\textbf{k}) \int d^3 x \,\, e^{ikx} \overset{\leftrightarrow}{\partial_0} \psi(x) $$ $$ \tag{5} a_s^\dagger (\textbf{k}) = -i \bar{u}_s(\textbf{k}) \int d^3 x \left[ e^{-ikx} \partial_0 \psi(x) - \psi(x) \partial_0 e^{-ikx} \right] \\ =-i \bar{u}_s(\textbf{k}) \int d^3 x \,\, e^{-ikx} \overset{\leftrightarrow}{\partial_0} \psi(x) $$ que se puede verificar tirando de la expansión (2) en (4) y (5) . Obsérvese que esto es válido para cualquier $x_0$ en el lado derecho.

Ahora sólo tienes que insertar en el anticomutador en el LHS de (3) estas expresiones y utilizar (1) (Puedo ampliar un poco este cálculo si lo necesitas).

la mayoría de las fuentes se limitan a "tirar del $u, u^\dagger$ fuera de los conmutadores' para obtener (anti)conmutadores de sólo los operadores de creación/aniquilación. ¿Cómo se justifica esto?

Hay una gran diferencia entre un espinor de polarización $u$ y un operador de creación/destrucción $c,c^\dagger$ .

Para la polarización fija $s$ y el impulso $\textbf{p}$ , $u_s(\textbf{p})$ es un espinor de cuatro componentes, lo que significa que $u_s(\textbf{p})_\alpha \in \mathbb{C}$ para cada $\alpha=1,2,3,4$ . Por el contrario, para una polarización fija $s$ y el impulso $\textbf{p}$ , $c_s(\textbf{p})$ es un operador en el Espacio de Fock . No sólo un número, lo que hace que tenga sentido preguntarse por los (anti)conmutadores.