¿Puede alguien ayudarme a evaluar esta integral indefinida? No puedo encontrar una sustitución viable: $$\int \dfrac {t^4 \tan t}{2 + \cos t}dt$$
Ya he probado a sustituirlo por $\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}$ y terminó como $\int \frac {t^4\frac {\sin t}{\cos t}}{2+\cos t}~dt \Rightarrow \int \frac {t^4\sin t}{2\cos t + \cos^2 t}~dt$ . A partir de aquí falla la sustitución.
Tienes que cambiarlo por:
$\int t^4 \tan(t) \times (2+\cos(t))^{-1} dt$
donde:
$u = t^4 tan(t), \frac {du}{dx}=4t^5 \sec^2(t),$
$v=\int (2+cos(t))^{-1} dx,\frac{dv}{dx}=(2+cos(t))^{-1} $
entonces utiliza esta regla (integración por partes):
$\int u \times \frac{dv}{dx} dx = u\times v-\int \frac{du}{dx} \times v$ $dx $
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Tal vez podrías intentar introducir las definiciones de $\cos (x)$ y $\tan (x)$ utilizando $e$ o escribir $\tan (t)=\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ para facilitar una sustitución de algún tipo. No olvides que también hay otras identidades para las funciones trigonométricas; escríbelas cerca y juega con ellas, a ver si te llega la inspiración. Así es como yo empezaría.
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También trataría de aproximar algo que se diferencie para convertirse en el integrando aquí, tratando de refinar mis conjeturas de forma iterativa a medida que avanzo, pero eso es una posibilidad remota.
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¿Has probado la integración por partes?
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@Shaun Ya intentó sustituir $\tan t= \frac {\sin t}{\cos t}$ y terminó como. $\int \frac {t^4\frac {\sin t}{\cos t}}{2+\cos t}~dt \Rightarrow \int \frac {t^4\sin t}{2\cos t + \cos^2 t}~dt$ La sustitución falla desde aquí.
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Una pista: integrals.wolfram.com/