Algebraica de números enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ $m$ un squarefree entero

Question

Actualmente estoy leyendo Marcus' "Número de Campos," y estoy teniendo dificultades para probar el siguiente resultado:

Corolario 2.2: Vamos a $m$ ser un squarefree entero. El conjunto de enteros algebraicos en el cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ es $$ \left\{ a + b \sqrt{m} : a,b \in \mathbb{Z} \right\} $$ si $m \equiv 2,3 \pmod{4}$; y$$ \left\{ \frac{a+b\sqrt{m}}{2} : a,b \in \mathbb{Z} ~,~ a \equiv b \pmod{2} \right\}$$ cuando $m \equiv 1 \pmod{4}$. $\square$

Es bastante fácil ver que el reclamado establece, en efecto, constan de enteros algebraicos. La otra mitad de la prueba se procede a algo como esto: supongamos que $\alpha = r + s \sqrt{m}$ es un elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$. A continuación, $\alpha$ es una raíz del polinomio $$ x^2 - 2rx + r^2 - s^2m $$ En particular, esto significa que $\alpha$ es un entero algebraico si y sólo si ambas $2r$ $r^2 - s^2 m$ son enteros. En este punto, la prueba se detiene, y dice que esta implica el resultado. Y ahí radica el problema: no veo cómo hacer la conexión. Yo no sé, por ejemplo, que si uno de $r,s$ es un número entero, entonces el otro debe ser, también, es decir, ambos son enteros, o ambos, no son. Sin embargo, no puedo obtener ninguna más que eso. Puede alguien darme un suave empujón en la dirección correcta? Muchas gracias!

Answer 1

En particular, esto significa que $\alpha$ es un entero algebraico si y sólo si ambas $2r$ $r^2 - s^2 m$ son enteros.

Esto requiere más trabajo de lo que has hecho hasta ahora. Usted necesitará saber que $x^2 - 2rx + (r^2 - s^2 m)$ es el mínimo polinomio de $\alpha$. Afortunadamente esto es claro como el tiempo $s \neq 0$, que es el caso interesante de todos modos.

No veo cómo hacer la conexión.

$2r$ es un número entero; vamos a llamar a $n$. Entonces

$$r^2 - s^2 m = \frac{n^2}{4} - s^2 m$$

también debe ser un número entero, o, equivalentemente,

$$4r^2 - 4s^2 m = n^2 - (2s)^2 m \equiv 0 \bmod 4$$

debe ser un entero divisible por $4$. Si $n$ es aún, esto significa que $(2s)^2 m$ debe ser un entero divisible por $4$, o, equivalentemente, $s^2 m$ debe ser un número entero, y desde $m$ es squarefree esto implica que $s$ debe ser un entero. (De lo contrario, si el denominador de $s$ en términos mínimos se $d$, $m$ tendría que ser divisible por $d^2$.)

Para el caso interesante es cuando $n$ es impar, en cuyo caso $n^2 \equiv 1 \bmod 4$, y por lo tanto

$$(2s)^2 m \equiv 1 \bmod 4.$$

Desde $m$ es squarefree esto implica que $2s$ debe ser un número entero, por el mismo argumento anterior, y además debe ser un entero impar (por lo $s$ es la mitad de un entero impar, el mismo que $r$). De ello se desprende que $(2s)^2 \equiv 1 \bmod 4$, por lo tanto

$$m \equiv 1 \bmod 4.$$