Estoy teniendo problemas para entender la siguiente prueba:
Lema: Vamos a $K \subseteq L$ ser una extensión de Galois y el grupo de Galois $G(L/K) = \{ \sigma_1, ..., \sigma _n \}$. Elementos de la $x_1, ..., x_n \in L$ formulario $K$-base de $L$ si y sólo si $\det [\sigma_i(x_j)] \neq 0.$
La prueba: Los elementos dados son linealmente dependientes si y sólo si existen elementos de $a_1,...,a_n\in K$ no todos iguales a $0$ tal que $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n =0$. Dejar que todos los $\sigma _i$ act en esto de la igualdad, obtenemos \begin{align*} a_1 \sigma_1 (x_1) + \dots + a_n \sigma_1(x_n) &= 0 \\ a_1 \sigma_2 (x_1) + \dots + a_n \sigma_2(x_n) &= 0 \\ \dots \\ a_1 \sigma_n (x_1) + \dots + a_n \sigma_n(x_n) &= 0. \end{align*} El anterior sistema de ecuaciones lineales tiene un valor distinto de cero de la solución de $a_1,...,a_n$ si y sólo si el determinante de la matriz de coeficientes (que consta de $\sigma_i(x_j) $) es igual a $0$.
Entiendo que si hay una solución distinto de cero $a_1,...,a_n \in K$, entonces este determinante debe ser cero.
Por el contrario, yo no entiendo por qué el determinante es cero implica que hay una solución distinto de cero $a_1,...,a_n \in K$. Dado que los coeficientes son en $L$, la única cosa que debe ser capaz de deducir es que hay una solución distinto de cero $a_1,...,a_n \in L$, mientras que en general $K \neq L$.
Lo que me estoy perdiendo?
