Evaluar $\int \dfrac {2x} {x^{2} + 6x + 13}dx$

Question

Estoy teniendo problemas para entender el primer paso de la evaluación de $$\int \dfrac {2x} {x^{2} + 6x + 13}dx$$

Cuando se enfrentan con las integrales, tales como el de arriba, ¿cómo saber manipular la integral en:

$$\int \dfrac {2x+6} {x^{2} + 6x + 13}dx - 6 \int \dfrac {1} {x^{2} + 6x + 13}dx$$

Después de este primer paso, soy plenamente consciente de cómo completar el cuadrado y evaluar la integral, pero estoy teniendo problemas para ver el primer paso cuando se enfrentan con problemas similares. Debe usted siempre busca lo que el $"b"$ plazo en un $ax^{2} + bx + c$ función para saber lo que necesitan para manipular el numerador? Hay otros trucos y consejos cuando se trata con trigonométricas inversas antiderivatives?

Answer 1

Sólo ten en mente que "plantillas" que se puede aplicar. La LHS, en la segunda línea está "preparado" para el $\int\frac{du}{u}$ de la plantilla. Sus opciones para una función racional con una ecuación cuadrática denominador se limitan a la división de polinomios y, a continuación, fracciones parciales para el resto, si el denominador factores (que siempre será más de $\mathbb{C}$). Las plantillas dependen de la señal de $a$ y el número de raíces. Aquí están algunos relevante "plantillas": $$ \eqalign{ \int\frac1{ax+b}dx &= \frac1{un}\ln\bigl|ax+b\bigr|+C \\ \int\frac{dx}{(ax+b)^2} &= -\frac1{un}\left(ax+b\right)^{-1}+C \\ \int\frac1{x^2+a^2}dx &= \frac1{un}\arctan\frac{x}{a}+C \\ \int\frac1{x^2-a^2}dx &= \frac1{2a}\ln\left|\frac{x}{x+a}\right|+C \\ } $$ Así que, en general, para hacer frente $$ I = \int\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}dx $$ usted querrá escribir $Ax+B$ $\frac{A}{2a}\left(2ax+b\right)+\left(B-\frac{Ab}{2a}\right)$ para obtener $$ \eqalign{ I & = \frac{A}{2a}\int\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}dx + \left(B-\frac{Ab}{2a}\right) \int\frac{dx}{ax^2+bx+c} \\& = \frac{A}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right| + \left(\frac{B}{a}-\frac{Ab}{2a^2}\right) \int\frac{dx}{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}} } $$ y para abordar el resto de integral, usted puede encontrar las raíces de la ecuación cuadrática o completar las plazas mediante el monic versión (que es más fácil hacer la sustitución). Si $a=0$, el uso de la primera "plantilla" de arriba. Si completa los cuadrados y es un cuadrado perfecto, o si usted recibe una doble raíz, a continuación, utilizar la segunda. Si las raíces son complejas o en las que hay dos raíces reales, entonces (después de la sustitución de $u=x+\frac{b}{2a}$) el uso de la tercera o cuarta "de la plantilla".

Answer 2

Miro a esa fracción y ver que el numerador difiere de la derivada del denominador por una constante, $6$. Si el numerador se $2x+6$ en lugar de $2x$, la fracción sería de la forma $u'/u$, y yo estaría muy feliz. Así que simplemente hacer es $2x+6$, restando $6$ compensar:

$$\frac{2x}{x^2+6x+13}=\frac{(2x+6)-6}{x^2+6x+13}=\frac{2x+6}{x^2+6x+13}-\frac6{x^2+6x+13}\;.$$

Entonces considero que si puedo integrar el término de corrección. En este caso he de reconocer que, como la derivada de un arco tangente, por lo que sé que voy a ser capaz de manejarlo, aunque llevará un poco de álgebra.

Answer 3

Quieres hacer la sustitución de $u=x^2+6x+13$ . Por lo tanto, $du=2x+6$ el resto sigue fácilmente desde allí.

Answer 4

No es necesario escribir como que de antemano. Surge de forma natural cuando se trate de resolverlo.

$\displaystyle \int \dfrac {2x} {x^{2} + 6x + 13}dx = \int \dfrac{2x}{x^2 + 6x + 9 + 4}dx = \int \dfrac{2x}{(x + 3)^2 + 4}dx$

Esto suena como un trabajo para... u-sustitución! (da-da-daaaa!)

Deje $u = (x+3)^2$, por lo que el $du = 2(x+3)dx = (2x + 6)dx$

Ahora es cuando vamos a ver que nos gustaría tener que 6. Sólo hay una manera de conseguirlo - agregar y subract. Así, obtenemos

$\displaystyle \int \dfrac {2x} {x^{2} + 6x + 13}dx = \int \dfrac{2x + 6 - 6}{(x + 3)^2 + 4}dx = \int \dfrac{du}{u^2 + 4} + \int \dfrac{-6}{(x+3)^2 + 4}$

Al menos, eso es lo que yo pienso de ella.