¿Son todos los procesos de difusión descritos como ondulatorios en formulaciones compatibles con la relatividad?

Question

Citando el artículo de Wikipedia sobre conducción de calor relativista :

Durante la mayor parte del siglo pasado, se reconoció que la ecuación de Fourier (y su más general ley de difusión de Fick) está en contradicción con la teoría de la relatividad, al menos por una razón: admite una velocidad infinita de propagación de las señales de calor dentro del continuo. [...] Para superar esta contradicción, trabajadores como Cattaneo Vernotte, Chester y otros propusieron que la ecuación de Fourier fuera de Fourier, pasando de la forma parabólica a la hiperbólica,

$$\frac{1}{C^2}\frac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} +\frac{1}{\alpha}\frac{\partial \theta}{\partial t}=\nabla^2\theta$$ también conocida como la ecuación del telegrafista. Curiosamente, la forma de esta ecuación tiene su origen en las ecuaciones de Maxwell de la electrodinámica de Maxwell; de ahí que se implique la naturaleza ondulatoria del calor.

Me parece que las EDP que describen cualquier otro proceso de difusión -por ejemplo, la Ecuación de Fokker-Planck para el movimiento browniano- asumirá también una velocidad de propagación infinita. Entonces, si mi intuición es correcta, serán incompatibles con la RS, y tendrán que ser "actualizadas" a ecuaciones hiperbólicas, de tipo ondulatorio.

Si esto fuera una regla general, ¿tendríamos, por ejemplo, una ecuación de onda relativista para el movimiento browniano? Parece poco probable... ¿Existe, entonces, algún ejemplo de ecuación difusiva/dispersiva cuya forma "sobreviva" a una descripción compatible con la relatividad?

Editar:

Añadiré una reformulación más amplia de la pregunta, como sugiere un comentario de @CuriousOne:

¿Podemos encontrar una ecuación de primer orden que modele los límites de la velocidad finita o nos vemos abocados automáticamente a las ecuaciones de segundo orden? ¿Hay algún teorema matemático general sobre las soluciones de las ecuaciones de primer y segundo orden?

Answer 1

Esta es una pregunta sutil y algo complicada, pero creo que la respuesta básica es ``no''.

1) La ecuación relativista de Boltzmann es $$ p^\mu\partial_\mu f = C[f] $$ que tiene la misma estructura que la ecuación no relativista de Boltzmann. Esta ecuación puede utilizarse para derivar las ecuaciones relativistas de Fokker-Planck. Un ejemplo es el término de colisión de Landau, que describe la dispersión de partículas cargadas en un plasma relativista. La ecuación FP resultante tiene la misma estructura que la ecuación FP no relativista, véase, por ejemplo http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0378437180901570 .

2) También hay que tener en cuenta que la ecuación de Cattaneo (y ecuaciones similares para otros problemas difusivos) no son ecuaciones ``fundamentales''. Tomemos la ecuación de conservación de la corriente $$ \partial_0 n +\vec\nabla\cdot\vec\jmath = 0 . $$ La ley de Fick es que $\vec\jmath$ es instantáneamente igual al flujo difusivo $-D\vec\nabla n$ . Esto es incompatible con la relatividad. Podemos intentar arreglar las cosas escribiendo un modelo de tiempo de relajación para la corriente, $$ \tau\partial_0 \vec\jmath = -(\vec\jmath+D\vec\nabla n) , $$ que da la ecuación de Cattaneo $$ \tau\partial_0^2 n + \partial_0 n - D\nabla^2 n = 0 \, . $$ Pero, en general podría haber un núcleo de memoria mucho más complicado $$ \vec\jmath (r,t) =\int dr' dt' \, G(r,t;r' ,t' )\nabla n(r' ,t' ) $$ y el modelo de tiempo de relajación es una aproximación que se desprende de modelos cinéticos simples en el límite $\partial_0n \ll n/\tau$ .

3) También hay que tener en cuenta que la cuestión no sólo está relacionada con la invariancia relativista y la causalidad. En un gas no relativista también es imposible que la corriente sea instantáneamente igual al flujo difusivo. Tomemos un gas ultrafrío en el que los átomos se mueven a velocidades $\sim cm/s$ . Entonces cualquier frente difusivo que se mueva a $m/s$ (no se acerca a la velocidad de la luz) es claramente antifísica, y la ecuación de Cattaneo es más apropiada que la ley de Fick. Lo que ocurre aquí es que hemos tomado la ley de Fick, que es una aproximación de gran longitud de onda (de grano grueso), y la hemos llevado a distancias demasiado cortas.

Answer 2

La causa fundamental es, en última instancia, la suposición o el uso de la ley de Fick, o la ley de Fourier, que no es apropiada a escalas relativistas. La ecuación hiperbólica del calor no es más que una solución ordenada a los problemas de difusión que satisface la relatividad. Pasando adecuadamente a la ley de Fourier relativista de la ley de Fick, siempre se puede derivar la nueva EDP "correcta". Nótese que esto no produce necesariamente la ecuación hiperbólica del calor, ya que simplemente tiene en cuenta la difusión y la propagación de ondas.

Dependiendo de la física de la propiedad particular, sabemos que la advección es otra forma de transporte. La radiación (propagación espontánea sin medio) también es posible. Así que, en general, la EDP físicamente correcta podría ser casi cualquier cosa.

En cuanto a un teorema general, creo que la clasificación de los problemas como parabólicos/hiperbólicos/elípticos/otros ya recoge estos efectos.