Paseo aleatorio por Z

Question

Dejemos que $S_n$ sea el paseo aleatorio simétrico sobre $\mathbb{Z}$ . ¿Cómo puedo calcular $P(\limsup_{n\rightarrow\infty} S_n=\infty)$ ? Ya sé que la probabilidad es 1 pero no sé muy bien cómo empezar? ¿Alguien tiene algún consejo? ¡Cuanto más básico, mejor!

¡Muchas gracias!

Answer 1

Dejemos que $A_M=[\limsup\limits_{n\to\infty}S_n\leqslant M]$ para algún número entero fijo $M$ entonces $A_M\subseteq\liminf [S_n\leqslant M]$ . Asumiendo que usted sabe que $\liminf\limits_{n\to\infty}P[S_n\leqslant M]=\ell$ con $\ell\lt1$ ${}^{(1)}$ Esto da como resultado $P[A_M]\leqslant\ell$ . Según un comentario, usted también sabe que $A_M$ es un evento asintótico, por lo que $P[A_M]=0$ . Esto es válido para cada $M$ por lo que $\limsup\limits_{n\to\infty}S_n=+\infty$ casi seguro.

${}^{(1)}$ Para demostrarlo, proceda por contradicción, entonces $P[S_n\leqslant M]\to1$ por lo que $P[S_n\geqslant-M]\to1$ por simetría, y $P[|S_n|\leqslant M]\to1$ . La distribución de $S_n$ es binomial $(\frac12,n)$ por lo que existe alguna constante finita absoluta $c$ tal que $P[S_n=k]\leqslant c/\sqrt{n}$ por cada $k$ y $n$ . En particular, $P[|S_n|\leqslant M]\leqslant(2M+1)c/\sqrt{n}\to0$ una contradicción.