Actualmente estoy tratando de encontrar esta integral impropia: $$ \int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} dx $$
Comencé dividiéndola en una integral propia y luego en la suma de dos integrales: $$ = \lim_{a\rightarrow\infty} \int^{a}_{-a}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx = \lim_{a\rightarrow\infty}(\int^{0}_{-a}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx + \int^{a}_{0}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx) $$
Para calcular las integrales, utilicé la substitución trigonométrica $ x=b\tan\theta $ con $ b=1 $, lo que daría el diferencial $ dx=sec^{2}\theta d\theta $. Los nuevos límites de integración serían entonces $ [-\frac{\pi}{2},0] $ y $ [0,\frac{\pi}{2}] $ porque a medida que $ x\rightarrow\pm\infty $, $ \theta\rightarrow\pm\frac{\pi}{2} $, por lo que las integrales y el límite se pueden reescribir como: $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}(\int^{0}_{-a}\frac{\sec^{2}\theta}{\sqrt{\tan^{2}\theta+1}}d\theta + \int^{a}_{0}\frac{\sec^{2}\theta}{\sqrt{\tan^{2}\theta+1}}d\theta) $$
...lo que se simplifica a: $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}(\int^{0}_{-a}\frac{\sec^{2}\theta}{\sqrt{\sec^{2}\theta}}d\theta +\int^{a}_{0}\frac{\sec^{2}\theta}{\sqrt{\sec^{2}\theta}}d\theta) = \lim_{a\rightarrow\pi/2}(\int^{0}_{-a}\frac{\sec^{2}\theta}{|\sec\theta|}d\theta+\int^{a}_{0}\frac{\sec^{2}\theta}{|\sec\theta|}d\theta) $$
Los valores absolutos en las secantes se pueden eliminar porque en el intervalo $ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $, la función secante es positiva. $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}(\int^{0}_{-a}\frac{\sec^{2}\theta}{\sec\theta}d\theta+\int^{a}_{0}\frac{\sec^{2}\theta}{\sec\theta}d\theta) = \lim_{a\rightarrow\pi/2}(\int^{0}_{-a}\sec\theta d\theta+\int^{a}_{0}\sec\theta d\theta) $$
La antiderivada de $ \sec\theta = \ln|\sec\theta+\tan\theta|+C $, por lo que las integrales se convierten en: $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}(\ln|\sec\theta+\tan\theta|\bigg|^{0}_{-a} + \ln|\sec\theta+\tan\theta|\bigg|^{a}_{0}) $$ $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}((\ln|\sec(0)+\tan(0)|-\ln|\sec(-a)+\tan(-a)|)+(\ln|\sec(a)+tan(a)|-\ln|\sec(0)+tan(0)|)) $$
Dado que $ \sec(0) = 1 $ y $ \tan(0) = 0 $, el valor de $ \ln|\sec(0)+tan(0)| = \ln(1) = 0 $. El límite se puede reescribir como: $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}((0-\ln|\sec(-a)+\tan(-a)|)+(\ln|\sec(a)+tan(a)|-0)) $$ $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}(-\ln|\sec(-a)+\tan(-a)|+\ln|\sec(a)+tan(a)|) $$
Se ha demostrado que la función tangente es impar y la función secante es par, por lo que $ \sec(-a) = \sec(a) $ y $ \tan(-a) = -\tan(a) $. Por lo tanto, aplicando y luego conmutando la adición, tenemos: $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}(\ln|\sec(a)+tan(a)|-\ln|\sec(a)-\tan(a)|) $$
La resta de logaritmos se convierte en división, por lo que $ \ln|\sec(a)+tan(a)|-\ln|\sec(a)-\tan(a)| $ $ = \ln\left|\frac{\sec(a)+\tan(a)}{\sec(a)-\tan(a)}\right| $, que se convierte en: $$ = \lim_{a\rightarrow\pi/2}\left(\ln\left|\frac{\sec(a)+\tan(a)}{\sec(a)-\tan(a)}\right|\right)$$
Aquí es donde estoy confundido: ¿se puede tomar el logaritmo natural del límite de la fracción (es decir, $$ \ln\left|\lim_{a\rightarrow\pi/2}\left(\frac{\sec(a)+\tan(a)}{\sec(a)-\tan(a)}\right)\right| $$ ), o el límite no existe? Y, en caso de poder tomar el logaritmo natural del límite, ¿cómo se evaluaría el límite de la fracción? Dado que $ \sec(\frac{\pi}{2}) "=" \infty $ y $ \tan(\frac{\pi}{2}) "=" \infty $, ¿habría alguna forma de utilizar la Regla de L'Hôpital, ya que $ \frac{\infty}{\infty-\infty} $ es indeterminado?
