Calcular el área de dos vectores. (problemas con la obtención de los cálculos correctos)

Question

Tenemos dos vectores $u$$v$: $$ u=-3i+5j+2k $$ $$ v=4i+3j-3k $$ Producto cruzado $u\times v$ nos da: $$u \times v =\begin{vmatrix}i & j & k \\ -3 & 5 & 2 \\ 4 & 3 & -3 \end{vmatrix} \\ =(5\times(-3)-2\times3)i \\ -(-3\times(-3)-4\times2)j \\ +(-3\times3-4\times5)k \\ u \times v =-21i-j-29k$$ estos cálculos en wolframalpha

Ahora de acuerdo a wikipedia área de dos vectores $u$ $v$ es $|u \times v|$ ($a$ y $b$ en este ejemplo)

Así puedo pensar en al menos dos buenas maneras de determinar el área formada por los vectores $u$$v$. Estos son:

$$ area_a=|u|\times|v| $$ $$ area_b=|u \times v| $$

Ahora cuando trato de calcular el área con estos dos métodos. Puedo obtener ligeramente diferentes respuestas y no sé por qué me gustaría conseguir dos diferentes áreas ? Calcula áreas son:

$$ area_a = \sqrt{(-3)^2+(5)^2+(2)^2}\sqrt{(4)^2+(3)^2+(-3)^2}=2\sqrt{323}\approx35.95$$ $$ area_b = \sqrt{(-21)^2+(-1)^2+(-29)^2}=\sqrt{1283}\approx 35.82 $$

ambas áreas deben dar el mismo resultado?

$$ area_a=area_b$$

Pero en este estos son diferentes. Ahora, si alguien podría señalar lo que me falta en estos cálculos o calcular mal que sería muy apreciada.

Gracias,

Tuki

Answer 1

Estos no son dos buenas maneras. Sólo la segunda es buena. ¿Por qué debería el área es el producto de las longitudes de los vectores? Eso sólo ocurre cuando son ortogonales, que no es el caso aquí. Tenga en cuenta que son casi ortogonales (la medida del ángulo entre ellos es de alrededor de $94.8^\circ$). Es por eso que los dos números que tengo son tan cerca uno del otro.

Answer 2

El área de dos vectores es $A=|\vec u |\,|\vec v| \sin\theta$

Tenemos $$\cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u |\cdot |\vec v|}$$

$$\cos\theta=-\frac{3}{2 \sqrt{323}}\to \sin\theta=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1283}{323}}$$ Así que el área es $$A=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1283}{323}} \left(\sqrt{38} \sqrt{34}\right)=\sqrt{1283}$$ Como la otra fórmula

Espero que esto ayude