¿Cómo puedo Mostrar que, $\arcsin\left(\frac{b}{c}\right)-\arcsin\left(\frac{a}{c}\right)=2\arcsin\left(\frac{b-a}{c\sqrt2}\right)$

Question

Donde $c^2=a^2+b^2$ es el teorema de Pitágoras. Los lados a,b y c de un triángulo de ángulo recto.

Muestran que,

$$\arcsin\left(\frac{b}{c}\right)-\arcsin\left(\frac{a}{c}\right)=2\arcsin\left(\frac{b-a}{c\sqrt2}\right)$$

Cómo hago para demostrar esta identidad? ¿Alguien puede ayudar? Sé de la arctan.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c1$$

$\implies\arcsin\dfrac ac=\arcsin(\sin A)=A$ $0<A<\dfrac\pi2$

Ahora $A=\dfrac\pi2-B$

y $\dfrac{b-a}{\sqrt2c}=\dfrac{\sin B-\sin A}{\sqrt2}=\dfrac{\sin B-\cos B}{\sqrt2}=\sin\left(B-\dfrac\pi4\right)$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

He aquí un trigonograph (con $a$ $b$ invierte, sólo porque):

$$\begin{align} 2\;\angle X &\;=\; \stackrel{\frown}{PQ} - \stackrel{\frown}{RS} \\[6pt] \implies \qquad\qquad\qquad 2\;\gamma &\;=\; \alpha - \beta \\[6pt] \implies \qquad 2\,\arcsin \frac{a-b}{2\sqrt{c}} &\;=\; \arcsin\frac{a}{c} - \arcsin\frac{b}{c} \end{align}$$

Answer 3

1. $\arcsin \dfrac bc -\arcsin \dfrac ac =2\arcsin \dfrac{b-a}{c \sqrt 2}$

2. $a,b,c \gt 0$

3. $a^2 + b^2 = c^2$

Vamos a reescribir esto como $\dfrac 12 \left(\arcsin \dfrac ac -\arcsin \dfrac ac \right) =\arcsin \dfrac{b}{c \sqrt 2}$

Ya que usted dijo que los lados $a, b, $ $c$ son los lados de un triángulo rectángulo, entonces sabemos que $a,b,c \gt 0$.

Deje $\theta$ ser el ángulo que corresponde al punto de $(a,b)$ en el primer cuadrante.

A continuación, $\sin \theta= \dfrac bc$ $\cos \theta = \dfrac ac$

Por lo que $\dfrac 12 \left( \arcsin \dfrac ac -\arcsin \dfrac ac \right) = \dfrac 12 \left( \theta \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) \right) = \theta \dfrac{\pi}{4}$

Si usted puede demostrar que $\sin \left( \theta \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{b}{c \sqrt 2}$, entonces usted está listo.