$\int\limits_{0}^{1}(\prod\limits_{r=1}^{n}(x+r))(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k})dx$

Question

El valor de $\int\limits_{0}^{1}(\prod\limits_{r=1}^{n}(x+r))(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k})dx$ es igual a

$(A)n\hspace{1cm}(B)n!\hspace{1cm}(C)(n+1)!\hspace{1cm}(D)n.n!$

He intentado:$\int\limits_{0}^{1}(\prod\limits_{r=1}^{n}(x+r))(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k})dx$=$\int\limits_{0}^{1}(x+1)(x+2)...(x+n)(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+......+\frac{1}{x+n})dx$=$\int\limits_{0}^{1}(x+2)(x+3)...(x+n)+(x+1)(x+3)...(x+n)dx$

No puedo resolver.Es mi enfoque equivocado,estoy atascado.¿Cuál es la manera correcta de resolver,por Favor ayuda...

Answer 1

Considere la posibilidad de $$A=\prod_{k=1}^n(x+k)$$ Take logarithms of both sides $$\log(A)=\sum_{k=1}^n \log(x+k)$$ Compute the derivative $$\frac {A'}A=\sum_{k=1}^n \frac 1{x+k}$$

Estoy seguro de que usted puede tomar a partir de aquí.

Answer 2

Diferenciar $\prod_{k=1}^n(x+k)$ con respecto al $x$, y se obtiene el integrando. Así que la respuesta es $(n+1)!-n!=n\cdot n!$.

Answer 3

En primer lugar vamos a hacer un denominador común para los racionales bajo el signo de suma $$ \left(\prod\limits_{i=1}^n (x+r)\right) \left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{x+k} \right)\\ = \left(\prod\limits_{i=1}^n (x+r)\right) \left( \sum\limits_{k=1}^n \frac{\prod\limits_{r=1,r\neq k}^n (x+r)} {\prod\limits_{i=1}^n (x+r)} \right) = \left( \sum\limits_{k=1}^n \prod\limits_{r=1,r\neq k}^n (x+r) \right) = \frac{d}{dx} \left( \prod\limits_{i=1}^n (x+r) \right), $$

donde hemos utilizado la regla del producto para el último signo igual. Ahora puede completar su ejercicio por tu cuenta?