Relación entre dos Riemannain conexiones

Question

Deje $g$ ser una métrica de Riemann en $M$ y deje $\tilde{g}=f^{2}g$ donde $f$ es una función suave que nunca es cero. deje $\nabla$ $\nabla'$ ser el Riemannain conexiones de $g$$\tilde{g}$$M$, darle la relación entre el$\nabla$$\nabla'$.

Realmente no estoy tan seguro de qué hacer aquí, pero traté de expresar cada conexión en términos de sus símbolos de Christoffel y locall expresión de una conexión

Lo que me pasa cuando lo hago es la siguiente deje $\Gamma^{k}_{i,j}$ $'\Gamma^{k}_{i,j}$ denotar la Christoffel de cada una de las conexiones tengo que $$'\Gamma^{k}_{i,j}=\Gamma^{k}_{i,j}+\dfrac{1}{f}g^{k,l}(g_{i,j}\partial_{i}f+g_{i,l}\partial_{j}f-g_{i,j}\partial_{l}f) $$

Ahora cuando la conecto a la expresión local para la conexión de $\nabla'$ I get

$$ \nabla'_{X}Y=\nabla_{X}Y + big ~mess$$

Hay una manera mejor de hacer esto?

Answer 1

La fórmula para la conformación modificación de la escala de la de Levi-Civita de conexión es una herramienta esencial en la geometría de Riemann, y su derivación se da en muchas fuentes.

Como Isaac Salomón y Ted Shifrin han mencionado en los comentarios, una mancha de la manera de obtenerlo es a considerar $f = e^{2 \omega}$ y el uso de la Koszul fórmula. El resultado será de la forma: $$ \nabla' _X Y = \nabla _X Y + (X \omega )Y + (Y \omega )X - g(X,Y) \operatorname{grad}\omega \etiqueta{1} $$

Prueba. El Koszul fórmula (ver, por ejemplo, aquí) da la siguiente expresión para la de Levi-Civita de conexión de $\nabla$ de la métrica $g$: $$ \begin{align} 2 g(\nabla_X Y, Z) & = X \, g(Y,Z) + Y \, g(Z,X) - Z \, g(X,Y) \\ \tag{2} &- g(X,[Y,Z]) + g(Y,[Z,X]) + g(Z,[X,Y]) \end{align} $$

Deje $\nabla'$ ser la de Levi-Civita de conexión para la métrica $g' = e^{2\omega}g$. La sustitución de estos objetos en (2) $$ \begin{align} 2 e^{2 \omega} g(\nabla'_X Y, Z) & = X \left( e^{2 \omega} g(Y,Z) \right) + Y \left( e^{2 \omega} g(Z,X) \right) - Z \left( e^{2 \omega} g(X,Y) \right) \\ &- e^{2 \omega} g(X,[Y,Z]) + e^{2 \omega} g(Y,[Z,X]) + e^{2 \omega} g(Z,[X,Y]) \end{align} $$ de computación y los derivados del uso de la regla del producto, obtenemos $$ \begin{align} 2 e^{2 \omega} g(\nabla'_X Y, Z) & = e^{2 \omega} X g(Y,Z) + e^{2 \omega} Y g(Z,X) - e^{2 \omega} Z g(X,Y) \\ & + 2 e^{2 \omega} g(Y,Z) \, X \omega + 2 e^{2 \omega} g(Z,X) \, Y \omega - 2 e^{2 \omega} g(X,Y) \, Z \omega \\ &- e^{2 \omega} g(X,[Y,Z]) + e^{2 \omega} g(Y,[Z,X]) + e^{2 \omega} g(Z,[X,Y]) \end{align} $$

En la última pantalla podemos dividir ambos lados de la ecuación por $e^{2 \omega}$, que es estrictamente una función positiva, para obtener $$ \begin{align} 2 g(\nabla'_X Y, Z) & = X g(Y,Z) + Y g(Z,X) -Z g(X,Y) \\ & + 2 g(Y,Z) \, X \omega + 2 g(Z,X) \, Y \omega - 2 g(X,Y) \, Z \omega \\ &- g(X,[Y,Z]) + g(Y,[Z,X]) + g(Z,[X,Y]) \end{align} $$

El uso de la Koszul la fórmula (2) de nuevo podemos reescribir la expresión anterior como $$ \begin{align} 2 g(\nabla'_X Y, Z) & = 2 g(\nabla_X Y, Z) + 2 g(Y,Z) \, X \omega + 2 g(Z,X) \, Y \omega - 2 g(X,Y) \, Z \omega \end{align} $$ que es equivalente a (1) debido a que el vector de campo $Z$ es arbitrario, $g$ es no degenerada, y $Z \omega = \mathrm{d} \omega (Z)$. Recordemos también que $\operatorname{grad} \omega = (\mathrm{d} \omega)^{\sharp}$.

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La versión de esta fórmula en términos de las coordenadas y los símbolos de Christoffel se obtiene mediante un cálculo similar, el resultado será $$ '\Gamma^{k}_{ij}=\Gamma^{k}_{ij} + \delta_{i}^{k} \partial_j \omega + \delta_{j}^{k} \partial_i \omega - g_{yo, j} g^{k, l} \partial_{l} \omega $$

Esto también puede ser obtenido como consecuencia de (1).