Solución única para $x^4 + 7x -1 = 0 $ $[0,1]$ (de Banach del teorema de punto fijo)

Question

Quiero mostrar que la $x^4 + 7x -1 = 0 $ tiene una única solución en $[0,1]$.

La idea es el uso de Banach del teorema de punto fijo. Sin embargo, veo un problema con este como la declaración del teorema dice que la función de $f$ tiene que ser definidas a partir de un espacio métrico completo a sí mismo. Mientras que $[0,1]$ es completa (como un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ que es), la función de $f(x) = x ^ 4 + 8x - 1 $ no tiene una imagen sólo en $[0,1]$.

Lo que me estoy perdiendo/no entender aquí?

Muchas gracias!

Answer 1

Intentar aplicar de Banach de punto fijo teorema de la función $$f(x)=\frac{1-x^4}7$$ en el intervalo de $[0,1]$.