Cómo mostrar $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{i(n-2)!}{(n-1-i)!n^{i+1}} \sim 1/n$

Question

¿Cómo se puede calcular el gran $n$ asintótica de

$$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{i(n-2)!}{(n-1-i)!n^{i+1}}\;?$$

Mi opinión es que es $1/n$ pero no sé cómo mostrarlo.

Answer 1

SUGERENCIA: utilizar el hecho de que

$$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{i(n-2)!}{(n-1-i)!n^{i+1}}=\int_0^{\infty} x(1+x)^{n-2} e^{-n x} \ dx$$

Por el hecho de que $$\lim_{n\to\infty} n\int_0^{\infty} x(1+x)^{n-2} e^{-n x} \ dx=1$$

concluimos que para $n$ lo suficientemente grande tenemos

$$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{i(n-2)!}{(n-1-i)!n^{i+1}}\sim \frac{1}{n}$$