Pares no disjuntos y desunido triple de conjuntos

Question

Probar:
Si no hay dos conjuntos de P,Q,R son distintos, tres de ellos no pueden ser mutuamente disjuntos
es verdadero o falso.

Entiendo que la prueba de una implicación es verdadera se puede hacer a través de métodos tales como directos caso, demostrando contrapositivo, la división en casos etc. Pero, ¿qué acerca de un mal implicación? Puedo demostrar que es malo por el simple hecho de presentar un caso donde no se sostiene, tales como:

P : {1,2} Q : {2,3} R : {1,3}

o dibujar un diagrama de venn tal vez?

Answer 1

Refutar una declaración es tan simple como un caso para que no se tiene la declaración.

No hay diferencia entre probar y refutar las declaraciones si no sabes Cuáles son sus valores de verdad previamente. Por ejemplo, superordenadores son activamente buscando un contraejemplo a la hipótesis de Riemann mientras matemáticos intentan demostrarlo.

Answer 2

Pero, ¿qué acerca de un mal implicación? Puedo demostrar que es malo por el simple hecho de presentar un caso donde no se sostiene?

Por supuesto! Si la afirmación es falsa y usted puede demostrar que lo es... entonces es falso.

Demostrar o refutar: Todo cuadrado perfecto son impares.

(Dis)Prueba: Bien, ya $36$ es un cuadrado perfecto, que no es impar, la declaración no puede ser cierto.

Eso es válido y irrefutables.

P : {1,2} Q : {2,3} R : {1,3}

Excelente contra-ejemplo. Que demuestra la afirmación es falsa.

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Oh, debo añadir. Un único contador ejemplo refuta una declaración. Pero uno, dos, o infinitos ejemplos que confirman nunca puede demostrar que un enunciado (a menos que usted haga todos los ejemplos posibles).

Para adelantarse a un muy común error... Una prueba por contradicción puede ir: Asumir la premisa es falsa; demostrar que eso implica algo que se sabe que es falso. Por lo tanto, no es cierto que la premisa es falsa. Así que la premisa debe ser verdadera.

Que es válida. (....A menos que usted es un constructivista que no cree en la ley del medio excluido.... pero no vamos a entrar en eso.)

Pero una prueba de confirmación no es: se supone que el resultado es verdadero; demostrar que eso implica algo que se sabe que es cierto. Por lo tanto, la premisa de que no es falso. Por lo tanto, la premisa es verdadera.

Que es NO válido. Sólo hemos confirmado que la premisa PODRÍA ser cierto y no hemos podido demostrar de manera concluyente que es falsa. Eso no quiere decir que no es falso. Sólo que podría ser cierto.

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BTW. "No hay dos pares de conjuntos son disjuntos" o "no pares distintos" medios de $P$ $Q$ no son disjuntas. $Q$ $R$ no son disjuntas. Y $P$ $R$ no son disjuntas.

"Mutuamente disjuntas" (que parece torpe frase) probablemente significa "la intersección de los tres es vacío" o "no hay ningún elemento en los tres conjuntos" o "$P\cap Q\cap R = \{x|x \in P; x\in Q; y\in R\} = \emptyset$." Digo "probablemente" porque... bueno, no me gusta. No es inmediatamente claro para mí lo que significa.

Cabe señalar que la notación, $P\cap Q\cap R = \{x|x \in P; x\in Q; y\in R\}$, que es aceptable y sin ambigüedades, como se puede demostrar que: $(P\cap Q)\cap R = P\cap (Q\cap R) = \{x|x \in P; x\in Q; y\in R\}$.

Answer 3

Dejo a un lado su ejemplo, porque no está claro qué definiciones de uso. Muestro mis ejemplos en los que el dominio de discurso de los números naturales.

Pero, ¿qué acerca de un mal implicación? Puedo demostrar que es errónea por simplemente dar un caso donde no se sostiene

Mezclar diferentes nociones lógico: implicación y el cuantificador universal. En tu ejemplo, el cuantificador universal se omite, debe empezar con una frase "Para todos los conjuntos $P$, $Q$, y $R$ (...)"

Es legal para demostrar $\lnot\forall x\phi$ mostrando un valor de $x$ tal que $\phi$ es absurdo (false). Supongo que esto es lo que significa "un caso donde una implicación no se sostiene". Ejemplo. Supongamos que $\forall x(0<x)$. A continuación, $0<0$ I es el valor de $x$$0$). Pero esto es absurdo. Por lo tanto $\lnot\forall x(0<x)$. Observe que no hay ninguna implicación en este ejemplo.

Es legal para demostrar $\lnot(\phi\implies\psi)$ mostrando que $\phi$ mantiene y $\psi$ no. Tales teoremas son raros porque una implicación naturalmente se produce en virtud de un cuantificador universal. Por ejemplo, $\forall x\forall y(x\leq y\implies x\leq y+1)$. Así que me considere un ejemplo de $\lnot\forall x(\phi\implies\psi)$. Podemos probar mostrando un valor de $x$ tal que $\phi\implies\psi$ es absurdo, y podemos demostrar que $\phi\implies\psi$ es absurdo mostrando que $\phi$ mantiene y $\psi$ no. Ejemplo. Supongamos que $\forall x\forall y(x+x=y\implies x<y)$. A continuación, $0+0=0\implies 0<0$ I es el valor de $x$ $0$ y el valor de $y$ ser $0$). $0+0=0$ tiene, sino $0<0$ no. Por lo tanto $\lnot\forall x\forall y(x+x=y\implies x<y)$.