Describiendo el anillo$\mathbb{Z}[x]/(x-8,2x-6)$

Question

¿Cómo puede uno describir el anillo $\mathbb{Z}[x]/(x-8,2x-6)$? ¿Qué se entiende por describirlo ? ¿Cómo funciona un elemento del ideal generado por $x-8$ y $2x-6$ se parecen?

Answer 1

Es fácil ver que para el $(x−8,2x−6)=(10,x+2)$ $\mathbb{Z}[x]=\mathbb{Z}[x+2]$ tan

$$\mathbb{Z}[x]/(x−8,2x−6)=\mathbb{Z}[x+2]/(10,x+2)=\mathbb{Z}_{10}$$

Answer 2

De un teorema bien conocido isomorfismo tenemos $$\displaystyle\frac{\mathbb{Z}[x]}{(x-8,2x-6)}\simeq\frac{\mathbb{Z}[x]/(x-8)}{(x-8,2x-6)/(x-8)}.$$ But the evaluation morphism $\mathbb{Z}[x]\to\mathbb Z$, $x\mapsto 8$, gives rise to an isomorphism $\mathbb{Z}[x]/(x-8) \simeq\mathbb Z$. This isomorphism sends (the residue class of) $2x-6$ to $2\cdot8-6=10$, so $$\displaystyle\frac{\mathbb{Z}[x]/(x-8)}{(x-8,2x-6)/(x-8)}\simeq\mathbb Z/10\mathbb Z.$$